Question

13．已知$\vec m$=（$\sqrt{3}$sinx，2cosx），$\vec n$=（2cosx，-cosx），函数f（x）=$\overrightarrow{m}$．$\overrightarrow{n}$-1
（1）求函数f（x）的最小正周期和对称轴方程；
（2）设三角形ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，f（A）=0，求bc的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用数量积得出f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-2，根据三角函数的性质求解即可．
（2）2sin（2A-$\frac{π}{6}$）-2=0．得出A=$\frac{π}{3}$，利用正弦定理得出2R=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，B+C=$\frac{2π}{3}$，bc=（2R）²sinBsin（$\frac{2π}{3}$-B）（0$＜B＜\frac{2π}{3}$），展开得出bc=$\frac{2}{3}$sin（2B-$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{3}$，0$＜B＜\frac{2π}{3}$，根据三角函数的单调性，有界性求解即可．

解答 解：$\vec m$=（$\sqrt{3}$sinx，2cosx），$\vec n$=（2cosx，-cosx），函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-1，
（1）∵函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-1=2$\sqrt{3}$sinxcosx-2cos²x-1=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x-2=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-2，
∴周期为T=$\frac{2π}{2}$=π，由2x-$\frac{π}{6}$=kπ$+\frac{π}{2}$，得对称轴x=$\frac{kπ}{2}$$+\frac{π}{3}$，k∈z，
（2）∵a=1，f（A）=0，
∴即sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，2A-$\frac{π}{6}$=2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，
∵a=1，
∴$\frac{a}{sin\frac{π}{3}}$=2R，
即2R=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，B+C=$\frac{2π}{3}$，
∴化简得出bc=$\frac{4}{3}$sinBsin（$\frac{2π}{3}$-B），0$＜B＜\frac{2π}{3}$，
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin2B-$\frac{1}{3}$cos2B+$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$sin（2B-$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{3}$，0$＜B＜\frac{2π}{3}$，
根据-$\frac{π}{6}$＜2B-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，得出$-\frac{1}{2}$＜sin（2B-$\frac{π}{6}$）≤1，
0＜$\frac{2}{3}$sin（2B-$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{3}$≤1
即bc∈（0，1]．

点评 本题考察了平面向量的数量积的运用，三角函数的图象性质，三角形的定理，属于中档题．