Question

16．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-1（x＜-2）}\\{x+3（-2≤x≤\frac{1}{2}）}\\{5x+1（x＞\frac{1}{2}）}\end{array}\right.$
（1）画出函数的图象并由图象观察函数f（x）的最小值；
（2）已知m∈R，命题p：关于x的不等式f（x）≥m²+2m-2对任意x∈R恒成立；q：函数y=（m²-1）^x是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）作出函数f（x）的图象，借助于单调性以及图象即可求最小值；
（2）运用（1）中求出的f（x）的最小值代入不等式f（x）≥m²+2m-2，求出对任意x∈R恒成立的m的范围，根据复合命题“p或q”为真，“p且q”为假时，建立不等式关系即可的实数m的取值范围．

解答 解：（1）根据分段函数的表达式作出对应的图象如图：
当x＜-2时，f（x）∈（1，+∞）；
当$-2≤x≤\frac{1}{2}$时，f（x）$∈[1，\frac{7}{2}]$；
当x＞$\frac{1}{2}$时，f（x）∈$（\frac{7}{2}，+∞）$
所以函数的值域为[1，+∞），最小值为1．
（2）由（1）得若不等式f（x）≥m²+2m-2对任意x∈R恒成立，
则m²+2m-2≤1，
即m²+2m-3≤0，
解得-3≤m≤1，
所以命题p：-3≤m≤1．
对于命题q，函数y=（m²-1）^x是增函数，
则m²-1＞1，即m²＞2，
所以命题q：$m＜-\sqrt{2}$或$m＞\sqrt{2}$
由“p或q”为真，“p且q”为假，则p真q假或p假q真两种情形：
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{-3≤m≤1}\\{-\sqrt{2}≤m≤\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
解得：$-\sqrt{2}≤m≤1$，
若p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{m＜-3或m＞1}\\{m＜-\sqrt{2}或m＞\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
解得：m＜-3，或m＞$\sqrt{2}$．
综上实数m的取值范围是$（-∞，-3）∪[-\sqrt{2}，1]∪（\sqrt{2}，+∞）$．

点评 本题考查了分段函数的应用及复合命题真假的判断，分段函数的值域分段求，利用数形结合是解决本题的关键．