Question

2．在l：x+y-4=0任取一点M，过M且以椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1的焦点为焦点作椭圆，问M在何处，M到两焦点的距离和最短，并求此椭圆方程．

Answer 1

分析 椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1的焦点分别为F₁（-2，0），F₂（2，0）．设点F₂（2，0）关于直线l：x+y-4=0的对称点为P（x，y），利用$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+2}{2}+\frac{y}{2}-4=0}\\{\frac{y}{x-2}=1}\end{array}\right.$，解得P．连接PF₁交直线l于点M，求出直线PF₁的方程与直线l的方程联立解得M．可以证明点M即为所求．进而得到所求椭圆的方程．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1的焦点分别为F₁（-2，0），F₂（2，0）．
设点F₂（2，0）关于直线l：x+y-4=0的对称点为P（x，y），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+2}{2}+\frac{y}{2}-4=0}\\{\frac{y}{x-2}=1}\end{array}\right.$，解得P（4，2）．
连接PF₁交直线l于点M，
直线PF₁的方程为：x-3y+2=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{x-3y+2=0}\end{array}\right.$，解得M$（\frac{5}{2}，\frac{3}{2}）$．
则M$（\frac{5}{2}，\frac{3}{2}）$即为所求．
在直线l上除了点M外任取一点Q，则|QF₁|+|QP|＞|PF₁|=|MF₁|+|MF₂|．
设所求的椭圆标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．
则2a=|PF₁|=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
解得a=$\sqrt{10}$，c=2，b²=a²-c²=6．
∴要求的椭圆标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{10}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、轴对称问题、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．