Question

（本小题满分12分）
在如图所示的空间几何体中，△ABC，△ACD都是等边三角形，AE=CE，DE//平面ABC，平面ACD⊥平面ABC。
（1）求证：DE⊥平面ACD；
（2）若AB=BE=2，求多面体ABCDE的体积。

Answer 1

解：（1）法一：△ABC，△ACD都是等边三角形，
AE=CE，取AC中点O，连接BO，DO，EO，则
BO⊥AC，DO⊥AC，EO⊥AC ……………2分

，

ODEF是平面四边形 ………………4分

平面ACD  ………………6分
法二：△ABC，△ACD都是等边三角形，
AE=CE，取AC中点O，连接BO，DO，EO，则
BO⊥AC，DO⊥AC，EO⊥AC ……………2分
，平面OBE
即OB，OD，OE平面OBED
又平面ABC，DE//BO  ………………4分

∴DE⊥平面ACD  ………………6分
（2）由EF//DO，DE//OF，知DE=OF，EF=DO，
又AB=BE=2，△ABC，△ACD都是等边三角形，EF⊥BO
 ………………8分
平面ACD，
；
又三棱锥E—ABC的体积 ………………11分
∴多面体ABCDE的体积为 ………………12分