Question

是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x∈N；②f（a+b）=f（a）•f（b），a，b∈N；③f（2）=4．同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由．

Answer 1

分析：由题设f（a+b）=f（a）•f（b）且f（x）＞0对x∈N成立，联想到指数函数f（x）=c^x，再结合f（2）=4可得c=2．故猜测存在函数数f（x）=2^x，最后采用数学归纳法加以证明．

解答：解：∵f（x）＞0，x∈N且f（a+b）=f（a）•f（b），a，b∈N
∴可设f（x）=c^x（c＞0，c≠1，x∈N），满足c^x＞0且c^a+b=c^a•c^b
∵f（2）=4
∴c²=4⇒c=2（舍负）
所以存在f（x）=2^x，符合题设的三个条件．
以下用数学归纳法证明，对任意的x∈N时，都有f（x）=2^x成立．
（1）当x=1时，f（2）=f（1+1）=f（1）•f（1）=[f（1）]²=4，
又∵x∈N时，f（x）＞0，
∴f（1）=2=2¹，结论正确．
（2）假设x=k（k∈N^*）时，有f（k）=2^k，
则x=k+1时，f（k+1）=f（k）•f（1）=2^k•2=2^k+1，
∴x=k+1时，结论正确．
综上所述，对于一切自然数x，都有f（x）=2^x成立．

点评：本题考查了根据抽象函数求函数的解析式的知识点，属于中档题，着重考查了指数函数的性质和数学归纳法证明的思路．