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【题目】已知函数.

(1)若,求曲线处的切线方程;

(2)若对任意的恒成立,求实数的取值范围.

【答案】(1);(2).

【解析】

1)对求导得到,代入,得到切线的斜率,结合切点,得到切线方程;(2)根据题意,得到,然后利用参变分离,得到,设,利用导数得到的最小值,从而得到的范围.

1)因为,所以函数

所以,即切点为

所以

代入,得到

故所求的切线方程为

.

2)对任意的恒成立,

可得,对任意的恒成立,

,令

所以时,单调递减,

时,单调递增,

,所以

所以,对任意的恒成立,

对任意的恒成立,

所以,对任意的恒成立,

,则

因为,所以,所以单调递增,

单调递增,而

所以当单调递减,

,单调递增,

所以时,取得最小值,为

所以.

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