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已知点p是圆(x+1)2+y2=16上的动点,圆心为B.A(1,0)是圆内的定点;PA的中垂线交BP于点Q.
(1)求点Q的轨迹C的方程;
(2)若直线l交轨迹C于M,N(MN与x轴、y轴都不平行)两点,G为MN的中点,求KMN•KOG的值(O为坐标系原点).
分析:(1)利用垂直平分线的性质可得|QA|=|QP|,由|QB|+|QP|=4,可得|QB|+|QA|=4,利用椭圆的定义可得点Q的轨迹是一个椭圆;
(2)法一:设M(x1,y1),N(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2),则G(
x1+x2
2
y1+y2
2
)
.代入可得
x
2
1
4
+
y
2
1
3
=1,
x
2
2
4
+
y
2
2
3
=1
,利用点差法可得
y
2
1
-
y
2
2
x
2
1
-
x
2
2
=-
3
4
.再利用斜率计算公式即可得出KMN•KOG的值;
法二:设M(x1,y1),N(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2),直线MN的方程为y=kx+b(k≠0),则G(
x1+x2
2
y1+y2
2
)

由于y1=kx1+b,y2=kx2+b,可得y1+y2=k(x1+x2)+2b,利用斜率计算公式可得kOG=
y1+y2
x1+x2
=k+
2b
x1+x2
,将y=kx+b代入椭圆方程得:(4k2+3)x2+8kbx+4b2-12=0,利用根与系数的关系可得x1+x2=-
8kb
4k2+3
,代入得到kOG=k+
2b
-8kb
4k2+3
=k-
4k2+3
4k
=-
3
4k
,即可得出KMN•KOG的值.
解答:解:(1)由条件知:|QA|=|QP|,
∵|QB|+|QP|=4,
∴|QB|+|QA|=4,
∵|AB|=2<4,
所以点Q的轨迹是以B,A为焦点的椭圆,
∵2a=4,2c=2,∴b2=3,
所以点Q的轨迹C的方程是
x2
4
+
y2
3
=1

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2),则G(
x1+x2
2
y1+y2
2
)

∵直线l与椭圆相较于点M,N,
x
2
1
4
+
y
2
1
3
=1,
x
2
2
4
+
y
2
2
3
=1

x
2
1
-
x
2
2
4
+
y
2
1
-
y
2
2
3
=0
,可得
y
2
1
-
y
2
2
x
2
1
-
x
2
2
=-
3
4

kMN=
y1-y2
x1-x2
kOG=
y1+y2
x1+x2

kMN×kOG=
y
2
1
-
y
2
2
x
2
1
-
x
2
2
=-
3
4

另解:设M(x1,y1),N(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2),直线MN的方程为y=kx+b(k≠0),
G(
x1+x2
2
y1+y2
2
)

∵y1=kx1+b,y2=kx2+b,∴y1+y2=k(x1+x2)+2b,
kOG=
y1+y2
x1+x2
=k+
2b
x1+x2

将y=kx+b代入椭圆方程得:(4k2+3)x2+8kbx+4b2-12=0,
x1+x2=-
8kb
4k2+3

kOG=k+
2b
-8kb
4k2+3
=k-
4k2+3
4k
=-
3
4k

所以kMNkOG=k•(-
3
4k
)=-
3
4
点评:本题综合考查了圆与椭圆的定义及其标准方程、线段的垂直平分线、直线与椭圆相交问题转化为根与系数的关系、直线的斜率计算公式、点差法等基础知识与基本技能,考查了数形结合的能力、推理能力、计算能力.
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OM
=
OP
+
OQ
,则点M的轨迹方程
 

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