Question

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2

3

，M，N分别为AB，SB的中点．
（1）证明：AC⊥SB；
（2）求二面角N-CM-B的大小；
（3）求点B到平面CMN的距离．

Answer 1

分析：（1）取AC中点O，并以O为原点，OA、OB、OS为x轴、y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系．给出A、B、S、E、F各点的坐标，从而得到向量

AC

、

SB

的坐标，计算出数量积

AC

•

SB

=0，即可证出AC⊥SB；
（2）根据题意，算出向量

CE

、

EF

的坐坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组解出

n

=（

2

，-

6

，1）为平面CEF的一个法向量，而

OS

=（0，0，

2

）为平面ABC的一个法向量，利用空间向量的夹角公式算出 锐二面角F-CE-B的余弦值；
（3）在平面CEF内取点B，得到向量

EB

=（-

1

2

，

3

2

，0），根据空间坐标系点到平面的距离公式，即可算出点B到平面CEF的距离

解答：解：（1）取AC中点O，根据题意可得OA、OB、OS两两互相垂直，
因此以O为原点，分别以OA、OB、OS为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），
B（0，

3

，0），S（0，0，

2

），E（

1

2

，

3

2

，0），F（0，

3

2

，

2

2

），C（-1，0，0）
∴

AC

=（-2，0，0），

SB

=（0，

3

，-

2

）
∵

AC

•

SB

=-2×0+0×

3

+0×（-

2

）=0
∴

AC

⊥

SB

，即得AC⊥SB．
（2）由（1）得

CE

=（

3

2

，

3

2

，0），

EF

=（-

1

2

，0，

2

2

），
设

n

=（x，y，z）为平面CEF的一个法向量，
则

n • CE =0 n • EF =0

即

3 2 x+ 3 2 y=0 - 1 2 x+ 2 2 z=0

，
取z=1，得x=

2

，y=-

6

．
∴平面CEF的一个法向量为

n

=（

2

，-

6

，1）．
又∵

OS

=（0，0，

2

）为平面ABC的一个法向量，
∴cos＜

n

，

OS

＞=

| n • OS |

| n |•| OS |

=

1

3

，
所以二面角F-CE-B的余弦值为

1

3

．
（3）由（1）、（2），可得

EB

=（-

1

2

，

3

2

，0），
∵

n

=（

2

，-

6

，1）为平面CEF的一个法向量
∴由点到平面的距离公式，可得
点B到平面CEF的距离为 d=

| n • EB |

| n |

=

2 2

3

．

点评：本题给出底面为等边三角形且一个侧面与底面垂直的三棱锥，求证线线垂直并求二面角的大小和点到平面的距离．着重考查了利用空间向量研究平面与平面所成角、点到平面的距离公式和异面垂直的证法等知识，属于中档题．