Question

已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x-y+2

2

=0的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意可设椭圆方程为

x2

a2

+y2=1，由题设

| a2-1 +2 2 |

2

=3解得a²=3，故所求椭圆的方程为

x2

3

+y2=1．
（2）设P为弦MN的中点，由

y=kx+m x2 3 +y2=1

得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m²＜3k²+1．由此可推导出m的取值范围．

解答：解：（1）依题意可设椭圆方程为

x2

a2

+y2=1，
则右焦点F（

a2-1

，0）由题设

| a2-1 +2 2 |

2

=3
解得a²=3故所求椭圆的方程为

x2

3

+y2=1；
（2）设P为弦MN的中点，由

y=kx+m x2 3 +y2=1

得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0
由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m²＜3k²+1①
∴xp=

xM+xN

2

=-

3mk

3k2+1

从而yp=kxp+m=

m

3k2+1

∴kAp=

yp+1

xp

=-

m+3k2+1

3mk

又|AM|=||AN|，∴AP⊥MN，
则-

m+3k2+1

3mk

=-

1

k

即2m=3k²+1②
把②代入①得2m＞m²解得0＜m＜2由②得k2=

2m-1

3

＞0解得m＞

1

2

．
故所求m的取范围是（

1

2

，2）．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．