Question

【题目】抛物线：，直线的斜率为2．

（Ⅰ）若与相切，求直线的方程；

（Ⅱ）若与相交于，，线段的中垂线交于，，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（1）设直线的方程为，将直线与抛物线的方程联立，利用求出的值，从而得出直线的方程；

（2）设点、、、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，由得出的范围，并列出韦达定理，求出并求出线段的中点坐标，然后得出线段中垂线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理并求出，然后得出的表达式，结合不等式的性质求出这个代数式的取值范围．

解：（1）设直线的方程为，联立直线抛物线的方程，得，

，所以，，

因此，直线的方程为；

（2）设直线的方程为，设点、、、，

联立直线与抛物线的方程，得，，所以，．

由韦达定理得，．

所以，，

因为线段的中点为，所以，直线的方程为，

由，得，由韦达定理得，，

所以，，

所以，，

所以，的取值范围是．