Question

【题目】已知等比数列的公比，前项和为，且满足.，，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和；

（3）若，的前项和为，且对任意的满足，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) . (2) ；(3)

【解析】

（1）利用等比数列通项公式以及求和公式化简，得到，由，，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项，利用等差数列的定义可得，化简即可求出，从而得到数列的通项公式。

（2）由（1）可得，利用错位相减，求出数列的前项和即可；

（3）结合（1）可得，利用裂项相消法，即可得到的前项和，求出的最大值，即可解得实数的取值范围

（1）由得，所以，

由，，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项，

得，

即，

即，即，

因为，所以，所以.

（2）由于，所以，

所以，

，

两式相减得，，

所以

（3）由知，

∴

，

∴，

解得或.

即实数的取值范围是