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7.博鳌亚洲论坛2015年会员大会于3月27日在海南博鳌举办,大会组织者对招募的100名服务志愿者培训后,组织一次APEC知识竞赛,将所得成绩制成如右频率分布直方图(假定每个分数段内的成绩均匀分布),组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励.
(1)试确定受奖励的分数线;
(2)从受奖励的20人中选3人在主会场服务,记3人中成绩在90分以上的人数为ξ,求ξ的分布列与数学期望.

分析 (1)由频率分布直方图求出受奖励分数线在80~90之间,设受奖励分数线为x,则(90-x)×0.02+0.012×10=0.20,由此能求出受奖励分数线.
(2)受奖励的20人中,分数在86~90的人数为8,分数在90~100的人数为12,从受奖励的20人中选3人在主会场服务,3人中成绩在90分以上的人数ξ的可能取值为0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出ξ的分布列与数学期望.

解答 解:(1)由频率分布直方图知,
竞赛成绩在90~100分的人数为0.012×10×100=12,
竞赛成绩在80~90的人数为0.02×10×100=20,
故受奖励分数线在80~90之间,
设受奖励分数线为x,则(90-x)×0.02+0.012×10=0.20,解得x=86,
故受奖励分数线为86…(6分)
(2)由(1)知,受奖励的20人中,分数在86~90的人数为8,
分数在90~100的人数为12,
故从受奖励的20人中选3人在主会场服务,3人中成绩在90分以上的人数ξ的可能取值为0,1,2,3,…(7分)
故$P({ξ=0})=\frac{C_8^3}{{C_{20}^3}}=\frac{14}{285},P({ξ=1})=\frac{{C_{12}^1C_8^2}}{{C_{20}^3}}=\frac{28}{95},P({ξ=2})=\frac{{C_{12}^2C_8^1}}{{C_{20}^3}}=\frac{44}{95},P({ξ=3})=\frac{{C_{12}^3}}{{C_{20}^3}}=\frac{11}{57}$,
故ξ的分布列为

ξ0123
P$\frac{14}{285}$$\frac{28}{95}$$\frac{44}{95}$$\frac{11}{57}$
…(11分)
$Eξ=0×\frac{14}{285}+1×\frac{28}{95}+2×\frac{44}{95}+3×\frac{11}{57}=1.8$…(12分)

点评 本题考查频率分布直方图的应用,考查离散型机变量概率分布列和数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意排列组合知识的合理运用.

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