Question

12．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₅=-3，S₁₀=-40．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若从数列{a_n}中依次取出第2，4，8，…，2ⁿ，…项，按原来的顺序排成一个新数列{b_n}，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由已知得b_n=${a}_{{2}^{n}}$=-2×2ⁿ+7=-2ⁿ⁺¹+7，由此能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₅=-3，S₁₀=-40，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=-3}\\{10{a}_{1}+45d=-40}\end{array}\right.$，解得a₁=5，d=-2，
∴a_n=-2n+7．
（Ⅱ）∵数列{a_n}中依次取出第2，4，8，…，2ⁿ，…项，按原来的顺序排成一个新数列{b_n}，
∴b_n=${a}_{{2}^{n}}$=-2×2ⁿ+7=-2ⁿ⁺¹+7，
∴T_n=-（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）+7n
=-$\frac{{2}^{2}-{2}^{n+1}×2}{1-2}$+7n
=4+7n-2ⁿ⁺²．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．