Question

先解答（1），再通过类比解答（2）：
（1）①求证：；②用反证法证明：函数f（x）=tanx的最小正周期是π；
（2）设x∈R，a为正常数，且，试问：f（x）是周期函数吗？证明你的结论．

Answer 1

解：（1）①证明：．
②假设T是函数f（x）=tanx的一个周期，且0＜T＜π，
则对任意，有tan（x+T）=tanx，令x=0得tanT=0，
而当0＜T＜π时，tanT≠0恒成立或无意义，矛盾，所以假设不成立，原命题成立．
（2）由（1）可类比出函数f（x）是周期函数，它的最小正周期是4a．
证明：因为，
所以．
分析：本题考查的知识点是类比推理，在由正切函数的周期性类比推理抽象函数的周期性时，我们常用的思路是：由正切函数的周期性，类比推理抽象函数的周期性；由正切函数的周期性的证明方法，类比推理抽象函数的周期性的证明方法．
点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．但类比推理的结论不一定正确，还需要经过证明，我们在进行类比推理时，一定要注意对结论进行进一步的论证，如果要证明一个结论是正确的，要经过严密的论证，但要证明一个结论是错误的，只需要举出一个反例．