Question

【题目】已知函数f（x）的定义域[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示

x	﹣1	0	2	4	5
F（x）	1	2	1.5	2	1

下列关于函数f（x）的命题；
①函数f（x）的值域为[1，2]；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数
③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a最多有4个零点．
其中正确命题的序号是 ．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：由f（x）的导函数y=f′（x）的图象可看出：如表格，

由表格可知：函数f（x）在区间[﹣1，0）上单调递增，在区间（0，2）上单调递减，在区间（2，4）上单调递增，在区间（4，5]上单调递增．∴②正确．
∴函数f（x）在x=0和x=4时，分别取得极大值，在x=2时取得极小值，且由对应值表f（0）=2，f（2）=1.5，
f（4）=2，又f（﹣1）=1，f（5）=1．
∴函数f（x）的值域为[1，2]．∴①正确．
根据已知的对应值表及表格画出图象如下图：

③根据以上知识可得：当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，则t=0，或4．故③不正确．
④由图象可以看出：当1.5＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；当a=2时，函数y=f（x）﹣a有2个
3零点；当a=1.5时，函数y=f（x）﹣a有3个零点；当1≤a＜1.5时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；
∴当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a最多有4个零点．故④正确．
综上可知①②④正确．
所以答案是①②④．
【考点精析】本题主要考查了命题的真假判断与应用的相关知识点，需要掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系才能正确解答此题．