Question

4．已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，且b=$\sqrt{3}$．数列{a_n}是等比数列，且首项a₁=$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{sinA}{a}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=-$\frac{lo{g}_{2}{a}_{n}}{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由△ABC的三个角A，B，C成等差数列，得B，由$\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}=\frac{1}{2}$得公比；
（2）${b_n}=-\frac{{{{log}_2}{a_n}}}{a_n}=n•{2^n}$，用错位相减法求和即可．

解答 解：（1）∵△ABC的三个角A，B，C成等差数列，∴B=60°，$\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}=\frac{1}{2}$，a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$．
（2）${b_n}=-\frac{{{{log}_2}{a_n}}}{a_n}=n•{2^n}$
 S_n=1×2+2×2²+…+n×2ⁿ；
 2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
-s_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2--n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2
则s_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了等比数列的通项及用错位相减法求和，属于中档题．