Question

已知函数，
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设a＞0，求函数f（x）在[2a，4a]上的最小值．

Answer 1

解：（1）定义域为（0，+∞），，令，则x=e，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

∴f（x）的单调增区间为（0，e）；单调减区间为（e，+∞）．
（2）由（1）知f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，所以，
当4a≤e时，即0＜时，f（x）在[2a，4a]上单调递增，
∴f（x）_min=f（2a）=；
当2a≥e时，即a≥f（x）在[2a，4a]上单调递减，∴f（x）_min=f（4a）=
当2a＜e＜4a时，即时，f（x）在[2a，e]上单调递增，f（x）在[e，4a]上单调递减，
∴f（x）_min=min{f（2a），f（4a）}．下面比较f（2a），f（4a）的大小，
∵，
∴若，则f（a）-f（2a）≤0，此时；
若，则f（a）-f（2a）＞0，此时；
综上得：当0＜a≤1时，；
当a＞1时，．
分析：（1）先确定函数的定义域，再求导，确定函数的单调区间；
（2）函数在闭区间上的最值，注意极值点是否在定义域内，分类讨论，极值与区间端点函数值=比较大小．
点评：（2）利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，本题对参数的讨论是难点，体现了分类讨论的数学思想方法．