Question

13．已知函数f（x）=x³+x²+ax+b
（Ⅰ）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象与直线y=ax恰有两个不同的公共点，求实数b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求原函数的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可；
（Ⅱ）利用导数求得原函数的极值，最后要使g（x）=x³+x²+b的其图象和x轴恰有2个交点，得到关于b的方程，从而求实数b的值．

解答 解：（Ⅰ）当a=-1时，f′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1），
令f′（x）＞0，解得x＞$\frac{1}{3}$或x＜-1，令f′（x）＜0，解得-1＜x＜$\frac{1}{3}$，
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（$\frac{1}{3}$，+∞），单调递减区间为（-1，$\frac{1}{3}$）；
（Ⅱ）因为函数f（x）的图象与直线y=ax恰有2个不同的公共点，
所以方程x³+x²+ax+b-ax=0恰有2个不同的解，
即函数g（x）x³+x²+b的图象与x轴恰有2个交点，
g′（x）=3x²+2x，令g′（x）=3x²+2x=0，所以x₁=0，x₂=-$\frac{2}{3}$，
可列表：

∴g（x）在x₁=0处取得极小值b，在x₂=-$\frac{2}{3}$取得极大值$\frac{4}{27}$+b，
要使g（x）=x³+x²+b的其图象和x轴恰有2个交点，
只需g（x）_极小值=0，或g（x）_极大值=0，
∴b=0或b=-$\frac{4}{27}$．

点评 本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，转化思想