Question

已知函数f（x）是二次函数，有f（0）=1，f（1）=0，且对任意的实数x都有f（1+x）=f（1-x）恒成立．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用单调性的定义证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数；
（Ⅲ）求函数f（x）在[1，5]上最大值和最小值，并指出取得最大（小）值时相应的x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意设函数的解析式，利用条件列出方程求出系数；
（Ⅱ）利用取值、作差、变形、判断符号、下结论这五步进行证明，主要利用平方差公式和提取公因式进行变形；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结果，即函数在所给区间上的单调性，求出函数的最值以及对应的自变量的值．

解答：解：（Ⅰ）由题意设函数f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=1，∴c=1，∵f（1）=0，∴a+b+1=0，①
由对任意的实数x都有f（1+x）=f（1-x）恒成立知，-

b

2a

=1  ②
由①②解得，a=1，b=-2，
∴f（x）=x²-2x+1

（Ⅱ）设x₁＞x₂≥1，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁²-2x₁+1-（x₂²-2x₂+1）=（x₁²-x₂²）-2（x₁-x₂）=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）
∵x₁＞x₂≥1，∴x₁-x₂＞0，x₁+x₂-2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
则函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，函数f（x）在[1，5]上是增函数，
∴当x=1时，函数取到最小值是0；当x=5时，函数取到最大值是16．

点评：本题考查了二次函数的综合问题，用待定系数法求出解析式，利用取值、作差、变形、判断符号、下结论这五步证明单调性，根据单调性求区间上的最值，本题考查全面，但是难度不大．