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已知函数f(x)是二次函数,有f(0)=1,f(1)=0,且对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)恒成立.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)利用单调性的定义证明函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数;
(Ⅲ)求函数f(x)在[1,5]上最大值和最小值,并指出取得最大(小)值时相应的x的值.
分析:(Ⅰ)由题意设函数的解析式,利用条件列出方程求出系数;
(Ⅱ)利用取值、作差、变形、判断符号、下结论这五步进行证明,主要利用平方差公式和提取公因式进行变形;
(Ⅲ)根据(Ⅱ)的结果,即函数在所给区间上的单调性,求出函数的最值以及对应的自变量的值.
解答:解:(Ⅰ)由题意设函数f(x)=ax2+bx+c,
∵f(0)=1,∴c=1,∵f(1)=0,∴a+b+1=0,①
由对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)恒成立知,-
b
2a
=1
  ②
由①②解得,a=1,b=-2,
∴f(x)=x2-2x+1

(Ⅱ)设x1>x2≥1,
则f(x1)-f(x2)=x12-2x1+1-(x22-2x2+1)=(x12-x22)-2(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2-2)
∵x1>x2≥1,∴x1-x2>0,x1+x2-2>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
则函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数;

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,函数f(x)在[1,5]上是增函数,
∴当x=1时,函数取到最小值是0;当x=5时,函数取到最大值是16.
点评:本题考查了二次函数的综合问题,用待定系数法求出解析式,利用取值、作差、变形、判断符号、下结论这五步证明单调性,根据单调性求区间上的最值,本题考查全面,但是难度不大.
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(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)设g(x)=x+5-f(x),若对任意的x∈(-∞,-
3
4
]
g(
x
m
)-g(x-1)≤4[m2g(x)+g(m)]
均成立,求实数m的取值范围.

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kx
-1
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