Question

19．已知函数f（x）=2lnx+a（x-$\frac{1}{x}$）．
（1）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=4x-4，求实数a的值；
（2）若（1-x）f（x）≥0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，解方程可得a=1；
（2）讨论当x≥1时，f（x）≤0即有2lnx+a（x-$\frac{1}{x}$）≤0恒成立，当0＜x≤1时，f（x）≥0即有2lnx+a（x-$\frac{1}{x}$）≥0恒成立，通过函数的单调性的判断，以及参数分离，即可得到a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=2lnx+a（x-$\frac{1}{x}$）的导数为
f′（x）=$\frac{2}{x}$+a（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$），
由题意可得f′（1）=2+2a=4，
解得a=1；
（2）若（1-x）f（x）≥0，
则当x≥1时，f（x）≤0即有2lnx+a（x-$\frac{1}{x}$）≤0恒成立，
由f（1）=0，可得f（x）在[1，+∞）递减，即f′（x）≤0恒成立，
即为$\frac{a{x}^{2}+2x+a}{x}$≤0在x≥1恒成立，则-a≥$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$，
由x+$\frac{1}{x}$≥2当且仅当x=1取得等号，则$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$≤1，
则-a≥1解得a≤-1；
当0＜x≤1时，f（x）≥0即有2lnx+a（x-$\frac{1}{x}$）≥0恒成立，
由f（1）=0，可得f（x）在（0，1]递减，即f′（x）≤0恒成立，
即为$\frac{a{x}^{2}+2x+a}{x}$≤0在0＜x≤1恒成立，则-a≥$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$，
由x+$\frac{1}{x}$≥2当且仅当x=1取得等号，则$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$≤1，
则-a≥1解得a≤-1．
综上可得a的范围是（-∞，-1]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查分类讨论的思想方法和函数的单调性的运用，属于中档题．