Question

已知圆O：x²+y²=9，定点 A（6，0），直线l：3x-4y-25=0
（1）若P为圆O上动点，求线段PA的中点M的轨迹方程
（2）设E、F分别是圆O和直线l上任意一点，求线段EF的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用M是线段PA的中点，寻找动点与定点之间的关系，借助于P在圆O上，从而求出M的轨迹方程
（2）根据图形易知，当且仅当过圆心垂直于已知直线时取得最大与最小值．

解答：（1）解：设圆O上动点P（x₁，y₁），线段PA的中点M（x，y）
由P在圆O上，得x₁²+y₁²=9，…（I）
又M是线段PA的中点，则

x1+6=2x y1+0=2y

，∴

x1=2x-6 y1=2y

∴P（2x-6，2y）
将P点坐标代入（I）得：（2x-6）²+（2y）²=9，
故；(x-3)2+(y)2=

9

4

是所求的轨迹方程．
（2）解：过点O作直线OK⊥l于K，交圆O于A、B两点（如图2）|EF|_min=|AK|=|OK|-|OA|=5-3=2

点评：本题主要考查代入法求轨迹，考查数形结合的数学思想，属于基础题．