Question

设函数f（x）=的图象上两点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），若=（），且点P的横坐标为．
（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；
（2）求Sn=f（）+f（）+A+f（）+f（）
（3）记T_n为数列{}的前n项和，若T_n＜a（S_n+1+）对一切n∈N^*都成立，试求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）证：∵=（），
∴P是P₁P₂的中点?x₁+x₂=1------（2分）
∴y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）====1．
∴=．．-----------------------------（4分）
（2）解：由（1）知x₁+x₂=1，f （x₁）+f （x₂）=y₁+y₂=1，f （1）=2-，
S_n=f（）+f（）+…+f（）+f（），
S_n=f（）+f（）+…+f（）+f（），
相加得 2S_n=f（1）+[f（）+f（）]+[f（）+f（）]+…+[f（）+f（）]+f（1），
=2f（1）+n-1=n+3-2
∴．------------（8分）
（3）解：===，
--------------------（10分）　
　?a=
∵≥8，当且仅当n=4时，取“=”
∴=，因此，a-------------------（12分）
分析：（1）由于点在函数图象上，同时满足=（），那么利用坐标化简得到结论．
（2）根据f （x₁）+f （x₂）=y₁+y₂=1，f （1）=2-，结合倒序相加法求解得到结论．
（3）根据已知的和式得到===，裂项求和的数学思想得到证明．
点评：本试题主要考查了函数，与向量，以及数列的知识的综合运用．以函数为模型，确定点的坐标关系式，进一步结合向量得到结论，并利用倒序相加法求解和，同时利用裂项求和得到不等式的证明．