Question

1．已知$\overrightarrow a$=（sin$\frac{x}{6}$，cos$\frac{x}{6}$），$\overrightarrow b$=（cos$\frac{x}{3}$，sin$\frac{x}{3}$）且f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$
（1）求f（x）的周期；
（2）求f（x）最大值和此时相应的x的值；
（3）求f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f（x）的周期．
（2）由函数的解析式，利用正弦函数的值域，求得f（x）最大值和此时相应的x的值．
（3）由条件利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调增区间．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=sin$\frac{x}{6}$•cos$\frac{x}{3}$+cos$\frac{x}{6}$sin$\frac{x}{3}$=sin（$\frac{x}{6}$+$\frac{x}{3}$）=sin$\frac{x}{2}$，
故函数的周期为$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π．
（2）函数f（x）的最大值为1，此时，$\frac{x}{2}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即 x=4kπ+π，k∈z．
（3）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得4kπ-π≤x≤4kπ+π，可得函数的增区间为[4kπ-π，4kπ+π]，k∈z．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的周期性、值域、单调性，属于基础题．