Question

已知幂函数f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)为偶函数且在区间（0，+∞）上是单调增函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g(x)=2

f(x)

-qx+q-1，若g（x）＞0对任意x∈[-1，1]恒成立，求实数q的取值范围．

Answer 1

分析：1）由幂函数f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)为偶函数且在区间（0，+∞）上是单调增函数，可得-m²+2m+3＞0且-m²+2m+3为偶数，解不等式可得结合，m∈Z可求m的取值
（2）由（1）可得，g(x)=2

f(x)

-qx+q-1=2x²-qx+q-1＞0，q（1-x）＞1-2x²，结合-1≤x≤1可得x≠1时q≥

1-2x2

1-x

在[-1，1]上恒成立，从而转化为求h（x）=

1-2x2

1-x

在[-1，1]上的最大值即可

解答：解：（1）由幂函数f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)为偶函数且在区间（0，+∞）上是单调增函数
-m²+2m+3＞0且-m²+2m+3为偶数
解不等式可得，-1＜m＜3，m∈Z
∴m=0，1，2
当m=0时，-m²+2m+3=3（舍）
当m=1时，-m²+2m+3=4
当m=2时，-m²+2m+3=3（舍）
故m=1，f（x）=x⁴
（2）由（1）可得，g(x)=2

f(x)

-qx+q-1=2x²-qx+q-1＞0
q（1-x）＞1-2x²
-1≤x≤1
x≠1时，q≥

1-2x2

1-x

在[-1，1]上恒成立
令h（x）=

1-2x2

1-x

=-[2（1-x）+

1

1-x

]+4≤4-2

2

q≥4-2

2

点评：本题主要考查了幂函数的性质可应用，解题的关键是由函数f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)为偶函数且在区间（0，+∞）上是单调增函数，可得-m²+2m+3＞0且-m²+2m+3为偶数，而函数的恒成立问题往往转化为求解函数的最值，注意构造函数的应用．