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已知椭圆E:(a>1)的离心率,直线x=2t(t>0)与椭圆E交于不同的两点M、N,以线段MN为直径作圆C,圆心为C
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)当圆C与y轴相切的时候,求t的值;
(Ⅲ)若O为坐标原点,求△OMN面积的最大值.
【答案】分析:(Ⅰ)由椭圆E的离心率,知,由此能求出椭圆E的方程.
(Ⅱ)联立方程,得M,N的坐标分别为(2t,),(2t,-),再由圆C的直径为MN,且与y轴相切,能求出t的值.
(Ⅲ)由(Ⅱ)得△OMN的面积S=≤2×=1,由此能求出△OMN的面积的最大值为1.
解答:解:(Ⅰ)∵椭圆E的离心率

解得a=2,
故椭圆E的方程为
(Ⅱ)联立方程,得
即M,N的坐标分别为(2t,),(2t,-),
∵圆C的直径为MN,且与y轴相切,
∴2t=,∵t>0,∴t=
(Ⅲ)由(Ⅱ)得△OMN的面积S=≤2×=1,
当且仅当时,等号成立,
故△OMN的面积的最大值为1.
点评:本题考查椭圆方程的求法,考查满足条件的实数值的求法,考查三角形面积的最大值的求法,解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用.
练习册系列答案
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已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率e=
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(1)求椭圆E的方程;
(2)求∠F1AF2的平分线所在直线l的方程;
(3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由.

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如图,已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点在x轴上,离心率

(1)求椭圆E的方程;

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(本小题满分12分)

    已知椭圆E:(a>b>0)的离心率e=,左、右焦点分别为F1、F2,点P(2,),点F2在线段PF1的中垂线上

   (1)求椭圆E的方程;

   (2)设l1l2是过点G(,0)且互相垂直的两条直线,l1交E于A, B两点,l2交E于C,D两点,求l1的斜率k的取值范围;

   (3)在(2)的条件下,设AB,CD的中点分别为M,N,试问直线MN是否恒过定点?

若经过,求出该定点坐标;若不经过,请说明理由。

 

 

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已知椭圆C过点A(1,),两个焦点为(-1,0)(1,0)。

求椭圆C的方程;

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