Question

如图，设点A（x₀，y₀）为抛物线y2=

x

2

上位于第一象限内的一动点，点B（0，y₁）在y轴正半轴上，且|OA|=|OB|，直线AB交x轴于点P（x₂，0）．
（Ⅰ）试用x₀表示y₁；
（Ⅱ）试用x₀表示x₂；
（Ⅲ）当点A沿抛物线无限趋近于原点O时，求点P的极限坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据两点间的距离公式得到|OA|与|OB|，根据A在抛物线上消去y₀即可用x₀表示y₁．
（Ⅱ）先表示出直线AB的斜率，从而可得到直线AB的方程，然后令y=0得到所求的用x₀表示x₂．
（Ⅲ）对（Ⅱ）中x₂的关系式求极限，即可得到P的极限坐标．

解答：解：（Ⅰ）|OA|=

x 2 0 + y 2 0

=

x 2 0 + x0 2

=

1

2

4 x 2 0 +2x0

，
∴y1=|OB|=

1

2

4 x 2 0 +2x0

．
（Ⅱ）kAB=

y1-y0

-x0

，
=

1 2 4 x 2 0 +2x0 - x0 2

-x0

，
=

2x0 - 4x0 2+2x0

2x0

，
直线AB的方程为
y=

2x0 - 4x0 2+2x0

2x0

x+

1

2

4x0 2+2x0

，
令y=0，得
x2=

2x0+1+ 2x0+1

2

．
（Ⅲ）

lim

x→0+

x2=

lim

x→0+

2x0+1+ 2x0+1

2

=1，
故当点A沿抛物线无限趋近于原点O时，求点P的极限坐标是（1，0）．

点评：本题主要考查直线与抛物线的综合问题，直线与圆锥曲线的综合问题每年必考，而且经常是以压轴题的形式出现，分值比较高，一定要准备充分．