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14.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn+1=2Sn+2n+1(n∈N*),且a1=1.
(Ⅰ)求证{an+2}是等比数列;
(Ⅱ)求Sn

分析 (Ⅰ)利用an+1=Sn+1-Sn可知$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n}+2}$=2(n≥2),进而可得结论;
(Ⅱ)通过(Ⅰ)可知an=3•2n-1-2,进而计算即得结论.

解答 (Ⅰ)证明:当n≥2时,∵Sn+1=2Sn+2n+1(n∈N*),
∴an+1=Sn+1-Sn=(2Sn+2n+1)-(2Sn-1+2n-1)=2an+2,
∴an+1+2=2(an+1),
即$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n}+2}$=2(n≥2),
∵a1=1,
∴a1+a2=2a1+3,
∴a2=a1+3=4,
∴a1+2=3,a2+2=6,
∴$\frac{{a}_{2}+2}{{a}_{1}+2}$=$\frac{6}{3}$=2,
∴数列{an+2}是以3为首项,2为公比的等比数列;
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知an+2=3•2n-1
∴an=3•2n-1-2,
∴Sn=3(1+2+22+…+2n-1)-2n
=$3•\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-2n
=3•2n-2n-3.

点评 本题考查等比数列的判定、数列的前n项和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.

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