Question

14．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n+1=2S_n+2n+1（n∈N^*），且a₁=1．
（Ⅰ）求证{a_n+2}是等比数列；
（Ⅱ）求S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a_n+1=S_n+1-S_n可知$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n}+2}$=2（n≥2），进而可得结论；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）可知a_n=3•2^n-1-2，进而计算即得结论．

解答 （Ⅰ）证明：当n≥2时，∵S_n+1=2S_n+2n+1（n∈N^*），
∴a_n+1=S_n+1-S_n=（2S_n+2n+1）-（2S_n-1+2n-1）=2a_n+2，
∴a_n+1+2=2（a_n+1），
即$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n}+2}$=2（n≥2），
∵a₁=1，
∴a₁+a₂=2a₁+3，
∴a₂=a₁+3=4，
∴a₁+2=3，a₂+2=6，
∴$\frac{{a}_{2}+2}{{a}_{1}+2}$=$\frac{6}{3}$=2，
∴数列{a_n+2}是以3为首项，2为公比的等比数列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知a_n+2=3•2^n-1，
∴a_n=3•2^n-1-2，
∴S_n=3（1+2+2²+…+2^n-1）-2n
=$3•\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-2n
=3•2ⁿ-2n-3．

点评 本题考查等比数列的判定、数列的前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．