Question

19．数列{a_n}的首项a_l=1，且对任意n∈N^*，a_n与a_n+1恰为方程x²-b_nx+2ⁿ=0的两个根．
（1）求数列（a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）运用二次方程的韦达定理，可得a_n•a_n+1=2ⁿ，可得奇数项、偶数项均成等比数列，由等比数列的通项公式，即可得到所求；
（2）讨论n为奇数，偶数，由等比数列的求和公式，奇数即可得到所求前n项和S_n．

解答 解：（1）由题意n∈N^*，a_n与a_n+1恰为方程x²-b_nx+2ⁿ=0的两个根．
可得a_n•a_n+1=2ⁿ
∴$\frac{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{{2}^{n}}$=2，
又∵a₁•a₂=2，a₁=1，a₂=2，
∴a₁，a₃，…，a_2n-1是前项为a₁=1，公比为2的等比数列，
a₂，a₄，…，a_2n是前项为a₂=2，公比为2的等比数列．
∴a_2n-1=2^n-1，a_2n=2ⁿ n∈N^*
即${a_n}=\left\{\begin{array}{l}{2^{\frac{n-1}{2}}}，n=2k-1，k∈{N^+}\\{2^{\frac{n}{2}}}，n=2k，k∈{N^+}\end{array}\right.$；
又∵b_n=a_n+a_n+1
当n为奇数时，${b_n}={2^{\frac{n-1}{2}}}+{2^{\frac{n+1}{2}}}=3•{2^{\frac{n-1}{2}}}$
当n为偶数时，${b_n}={2^{\frac{n}{2}}}+{2^{\frac{n}{2}}}=2•{2^{\frac{n}{2}}}$
∴b_n=$\left\{{\begin{array}{l}{3×{2^{\frac{n-1}{2}}}，n为奇数}\\{{2^{1+\frac{n}{2}}}，n为偶数}\end{array}}\right.$；
（2）S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
当n为偶数时，
S_n=（b₁+b₃+…+b_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）
═$\frac{{3-3•{2^{\frac{n}{2}}}}}{1-2}+\frac{{4-4•{2^{\frac{n}{2}}}}}{1-2}$=7•${2^{\frac{n}{2}}}$-7，
当n为奇数时，
S_n=b₁+b₂+…+b_n-1+b_n
=S_n-1+b_n=10•${2^{\frac{n-1}{2}}}$-7，
S_n=$\left\{{\begin{array}{l}{10×{2^{\frac{n-1}{2}}}-7，n为奇数}\\{7×{2^{\frac{n}{2}}}-7，n为偶数}\end{array}}\right.$．

点评 本题考查数列的通项求法，考查等比数列通项公式和求和公式的运用，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．