Question

【题目】设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2 ， 则不等式（x+2017）2f（x+2017）﹣9f（﹣3）＞0的解集（ ）
A.（﹣∞，﹣2020）
B.（﹣∞，﹣2014）
C.（﹣2014，0）
D.（﹣2020，0）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：根据题意，令g（x）=x2f（x），x∈（﹣∞，0），

故g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，

而2f（x）+xf'（x）＞x2，

故x＜0时，g′（x）＜0，g（x）递减，

（x+2017）2f（x+2017）﹣9f（﹣3）＞0，即（x+2017）2f（x+2017）＞（﹣3）2f（﹣3），

则有g（x+2017）＞g（﹣3），

则有x+2017＜﹣3，

解可得x＜-2020；

即不等式（x+2017）2f（x+2017）﹣9f（﹣3）＞0的解集为（﹣∞，﹣2020）；

故选：A．

根据题意，令g（x）=x2f（x），x∈（﹣∞，0），对g（x）求导分析可得g（x）在（﹣∞，0）递减，原问题转化为g（2017+x）＞g（﹣3），根据函数的单调性得到关于x的不等式组，解出即可．