【题目】某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=1米;上部CDG是等边三角形,固定点E为AB的中点.△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆.
(1)设MN与AB之间的距离为x米,试将△EMN的面积S(平方米)表示成关于x的函数;
(2)求△EMN的面积S(平方米)的最大值.
【答案】
(1)解:①如图1所示,当MN在矩形区域滑动,即0<x≤1时,△EMN的面积S= =x;
②如图2所示,当MN在三角形区域滑动,即1<x< 时,连接EG,交CD于点F,交MN于点H,
∵E为AB中点,
∴F为CD中点,GF⊥CD,且FG= .
又∵MN∥CD,∴△MNG∽△DCG.
∴ ,即 .
故△EMN的面积S= = ;
综合可得:
(2)解:①当MN在矩形区域滑动时,S=x,所以有0<S≤1;
②当MN在三角形区域滑动时,S= .
因而,当 (米)时,S得到最大值,最大值S= (平方米).
∵ ,
∴S有最大值,最大值为 平方米.
【解析】(1)分类求出MN在矩形区域、三角形区域滑动时,△EMN的面积,可得分段函数;(2)分类求出△EMN的面积的最值,比较其大小即可得到最大值.
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【题目】已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体,① ;② ;③向量 与向量 的夹角是60°;④正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为 .其中正确的命题是(写出所有正确命题编号)
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【题目】已知a,b,x,y∈R,证明:(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2 , 并利用上述结论求(m2+4n2)( + )的最小值(其中m,n∈R且m≠0,n≠0).
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【题目】已知集合 A={x|﹣1<x<1},B={x|0<x<2},集合 C={x|x>a}.
(1)求集合A UCRB;
(2)若A∩C≠φ,求实数a的取值范围.
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【题目】已知命题p:x∈R,x﹣2>lgx,命题q:x∈R,x2>0,则( )
A.命题p∨q是假命题
B.命题p∧q是真命题
C.命题p∧(¬q)是真命题
D.命题p∨(¬q)是假命题
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【题目】已知点F为抛物线C:y2=4x的焦点,点P是准线l上的动点,直线PF交抛物线C于A,B两点,若点P的纵坐标为m(m≠0),点D为准线l与x轴的交点. (Ⅰ)求直线PF的方程;
(Ⅱ)求△DAB的面积S范围;
(Ⅲ)设 , ,求证λ+μ为定值.
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