Question

（2012•浦东新区一模）定义数列{x_n}，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有（x_n+1-p）（x_n-p）＜0成立，那么我们称数列{x_n}为“p-摆动数列”．
（1）设a_n=2n-1，bn=(-

1

2

)n，n∈N^*，判断{a_n}、{b_n}是否为“p-摆动数列”，并说明理由；
（2）设数列{c_n}为“p-摆动数列”，c₁＞p，求证：对任意正整数m，n∈N^*，总有c_2n＜c_2m-1成立；
（3）设数列{d_n}的前n项和为S_n，且Sn=(-1)n•n，试问：数列{d_n}是否为“p-摆动数列”，若是，求出p的取值范围；若不是，说明理由．

Answer 1

分析：（1）假设数列{a_n}是“p-摆动数列”，由定义知存在常数p，总有2n-1＜p＜2n+1对任意n成立，通过给n赋值说明常数p不存在即可，对于数列{b_n}，通过观察取p=0，然后按照定义论证即可；
（2）根据数列{c_n}为“p-摆动数列”及c₁＞p，可推出（c_n+2-p）（c_n-p）＞0，由此可推出c_2m-1＞p，同理可推出c_2n＜p，从而不等式可证；
（3）先由S_n求出d_n，据d_n易求出常数p值，根据数列{d_n}的奇数项、偶数项的单调性分别求出p的范围，然后两者取交集即可；

解答：解：（1）假设数列{a_n}是“p-摆动数列”，即存在常数p，总有2n-1＜p＜2n+1对任意n成立，
不妨取n=1，则1＜p＜3，取n=2，则3＜p＜5，显然常数p不存在，
所以数列{a_n}不是“p-摆动数列”；
而数列{b_n}是“p-摆动数列”，p=0．
由bn=(-

1

2

)n，于是bnbn+1=(-

1

2

)2n+1＜0对任意n成立，
所以数列{b_n}是“p-摆动数列”．
（2）由数列{c_n}为“p-摆动数列”，c₁＞p，即存在常数p，使对任意正整数n，总有（c_n+1-p）（c_n-p）＜0成立．
即有（c_n+2-p）（c_n+1-p）＜0成立．则（c_n+2-p）（c_n-p）＞0，
所以c₁＞p＞⇒c₃＞p⇒…⇒c_2m-1＞p，
同理（c₂-p）（c₁-p）＜0⇒c₂＜p⇒c₄＜p⇒…⇒c_2n＜p，
所以c_2n＜p＜c_2m-1．
因此对任意的m，n∈N^*，都有c_2n＜c_2m-1成立．
（3）当n=1时，d₁=-1，
当n≥2，n∈N^*时，dn=Sn-Sn-1=(-1)n(2n-1)，
综上，dn=(-1)n(2n-1)，
则存在p=0，使对任意正整数n，总有dndn+1=(-1)2n+1(2n-1)(2n+1)＜0成立，
所以数列{d_n}是“p-摆动数列”；
当n为奇数时d_n=-2n+1递减，所以d_n≤d₁=-1，只要p＞-1即可，
当n为偶数时d_n=2n-1递增，d_n≥d₂=3，只要p＜3即可．
综上-1＜p＜3．
所以数列{d_n}是“p-摆动数列”，p的取值范围是（-1，3）．

点评：本题考查数列与不等式的综合、由数列前n项和求通项，考查学生运用所学知识分析解决新问题的能力，本题综合性强，难度大，对能力要求较高．