Question

已知：四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，且PA=AB=2，∠ABC=60°，BC、PD的中点分别为E、F．
（Ⅰ）求证BC⊥PE；
（Ⅱ）求二面角F-AC-D的余弦值；
（Ⅲ）在线段AB上是否存在一点G，使得AF||平面PCG？若存在指出G在AB上位置并给以证明，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）要证BC⊥PE，要转化为证明BC⊥平面PAE
（2）先做出二面角的平面角，再转化为解三角形问题
（3）若AF∥平面PCG，关键是要找到平面PCG上可能与AF平行的直线．

解答：（Ⅰ）证明：
方法一：∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BC
连接AE∵底面ABCD是菱形∠ABC=60°
∴△ABC是正三角形，
又E时BC的中点∴BC⊥AE
而PA∩AE=ABC⊥平面PAE∴BC⊥PE
方法二：以AE、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
用向量方法证明

BC

•

PE

=0，
从而得出BC⊥PE也可以
（Ⅱ）由Ⅰ知AE、AD、AP彼此两两垂直，故以AE、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系
∵PA=AB=2∴A（0，0，0），B(

3

，-1，0)，C(

3

，1，0)，
D（0，2，0），E(

3

，0，0)，F（0，1，1），P（0，0，2）
∴

AF

=(0，1，1)，

CF

=(-

3

，0，1)
设平面FAC的法向量为

u

=(x，y，z)，
则

u • AF =0 u • CF =0

求得

u

=(

3

，-3，3)
平面ACD的法向量为

v

=(0，0，2)，
设二面角F-AC-D的平面角为θ，
则cosθ=

| u • v|

| u |•| v |

=

21

7

即二面角F-AC-D的余弦值为

21

7

（Ⅲ）在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG
方法1：设PC的中点为H，连接FH，
易证四边形AGHF为平行四边形，
∴AF∥GH又GH?平面PGC，AF?平面PGC∴AF∥平面PGC
方法2：假设在线段AB上存在点G，使得AF∥平面PCG，
则

AG

=λ

AB

（0≤λ＜1），∵

AB

=(

3

，-1，0)，
∴

AG

=λ

AB

=(

3

λ，-λ，0)，
∵

PA

=(0，0，-2)，
∴

PG

=

PA

+

AG

=(

3

λ，-λ，-2)
设平面PGC的法向量为

n

=(x，y，z)，
由

n • PG =0 n • PC =0

得

n

=(

λ+1

3 (λ-1)

，1，

λ

λ-1

)
∵

AF

=(0，1，1)，且

AF

•

n

=0，解得λ=

1

2

故在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG．

点评：线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．
垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．
证明线面垂直的方法：证明一个面过另一个面的垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线与添加辅助线解决．