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如图,四边形ABCD为矩形,四边形ADEF为梯形,AD//FE,∠AFE=60º,且平面ABCD⊥平面ADEF,AF=FE=AB==2,点G为AC的中点.

(Ⅰ)求证:EG//平面ABF;
(Ⅱ)求三棱锥B-AEG的体积;
(Ⅲ)试判断平面BAE与平面DCE是否垂直?若垂直,请证明;若不垂直,请说明理由.
(I)详见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)平面BAE⊥平面DCE.证明见解析.

试题分析:(I)取AB中点M,连FM,GM.由题设易得四边形GMFE为平行四边形,从而得EG∥平面ABF;(Ⅱ)显然转化为求三棱锥E-ABG的体积.注意到平面ABCD⊥平面AFED,故作EN⊥AD,垂足为N,则有EN⊥平面ABCD,即EN为三棱锥E-ABG的高.由此即可得其体积;(Ⅲ)为了判断平面BAE、平面DCE是否垂直,首先看看在这两个面中有哪些线是相互垂直的.由平面ABCD⊥平面AFED,四边形ABCD为矩形可得,CD⊥平面AFED,从而 CD⊥AE.另外根据题中所给数据,利用勾股定理可判断ED⊥AE.由此可知,平面BAE⊥平面DCE.
试题解析:(I)证明:取AB中点M,连FM,GM.

∵G为对角线AC的中点,
∴GM∥AD,且GM=AD,
又∵FE∥AD,
∴GM∥FE且GM=FE.
∴四边形GMFE为平行四边形,即EG∥FM.
又∵平面ABF,平面ABF,
∴EG∥平面ABF.                       4分
(Ⅱ)解:作EN⊥AD,垂足为N,
由平面ABCD⊥平面AFED ,面ABCD∩面AFED=AD,
得EN⊥平面ABCD,即EN为三棱锥E-ABG的高.
∵在△AEF中,AF=FE,∠AFE=60º,
∴△AEF是正三角形.
∴∠AEF=60º,
由EF//AD知∠EAD=60º,
∴EN=AE?sin60º=
∴三棱锥B-AEG的体积为
.        8分
(Ⅲ)解:平面BAE⊥平面DCE.证明如下:
∵四边形ABCD为矩形,且平面ABCD⊥平面AFED,
∴CD⊥平面AFED,
∴CD⊥AE.
∵四边形AFED为梯形,FE∥AD,且

又在△AED中,EA=2,AD=4,
由余弦定理,得ED=
∴EA2+ED2=AD2
∴ED⊥AE.
又∵ED∩CD=D,
∴AE⊥平面DCE,
面BAE,
∴平面BAE⊥平面DCE.                     12分
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