Question

如图，设△ABC内接于⊙O，PA垂直于⊙O所在的平面．

(Ⅰ)请指出图中互相垂直的平面；(要求：必须列出所有的情形，但不要求证明)

(Ⅱ)若要使互相垂直的平面对数在原有的基础上增加一对，那么在△ABC中须添加一个什么条件？(要求：添加你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形，但必须证明你添加的条件的正确性)

(Ⅲ)设D是PC的中点，AC＝AB＝a(a是常数)，试探究在PA上是否存在点M，使MD＋MB最小？若存在，试确定点M的位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)图中互相垂直的平面有： 　　平面平面，平面平面．　　　　　　　　　　2分; 　　(Ⅱ)要使互相垂直的平面对数在原有的基础上增加一对，在△ABC中须添加：　　　　　　　　　　4分 　　(或添加，或AC是圆O的直径，或AC过圆心O等) 　　证明：∵PA⊥平面ABC，平面， 　　∴，　　　　　　　　　　5分 　　又∵， 　　∴平面，又平面， 　　∴平面平面 　　可见以上添加的条件正确．　　　　　　　　　　　8分 　　(或在△ABC中添加：或，或AB是圆O的直径，或AB过圆心O等，可得平面平面．或在△ABC中添加：或，或BC是圆O的直径，或BC过圆心O等，可得平面平面．证明略)其它做法请参照给分; 　　(Ⅲ)将平面PAB绕PA沿逆时针方向旋转到与平面PAC在同一平面上如下图 　　∵∴C、A、B三点在同一直线上　　　　　　　　10分 　　连结DB交PA于点M，则点M就是所求的点，　　　　　　　　　　12分 　　过点D作DE∥BC交PA于E，∵D是PC的中点∴E为PA中点 　　∵且AC＝AB∴∴ 　　即点M为AP方向上AP的第一个三等分点　　　　　　　　　　　14分