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如图,设△ABC内接于⊙O,PA垂直于⊙O所在的平面.

(Ⅰ)请指出图中互相垂直的平面;(要求:必须列出所有的情形,但不要求证明)

(Ⅱ)若要使互相垂直的平面对数在原有的基础上增加一对,那么在△ABC中须添加一个什么条件?(要求:添加你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有可能的情形,但必须证明你添加的条件的正确性)

(Ⅲ)设D是PC的中点,AC=AB=a(a是常数),试探究在PA上是否存在点M,使MD+MB最小?若存在,试确定点M的位置,若不存在,说明理由.

答案:
解析:

  解:(Ⅰ)图中互相垂直的平面有:

  平面平面,平面平面.          2分;

  (Ⅱ)要使互相垂直的平面对数在原有的基础上增加一对,在△ABC中须添加:          4分

  (或添加,或AC是圆O的直径,或AC过圆心O等)

  证明:∵PA⊥平面ABC,平面

  ∴,          5分

  又∵

  ∴平面,又平面

  ∴平面平面

  可见以上添加的条件正确.           8分

  (或在△ABC中添加:,或AB是圆O的直径,或AB过圆心O等,可得平面平面.或在△ABC中添加:,或BC是圆O的直径,或BC过圆心O等,可得平面平面.证明略)其它做法请参照给分;

  (Ⅲ)将平面PAB绕PA沿逆时针方向旋转到与平面PAC在同一平面上如下图

  ∵∴C、A、B三点在同一直线上        10分

  连结DB交PA于点M,则点M就是所求的点,          12分

  过点D作DE∥BC交PA于E,∵D是PC的中点∴E为PA中点

  ∵且AC=AB∴

  即点M为AP方向上AP的第一个三等分点           14分


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