【题目】如图,在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.
(1)证明:AC⊥B1D;
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值.
【答案】
(1)证明:∵BB1⊥平面ABCD,AC平面ABCD,∴AC⊥BB1,
又∵AC⊥BD,BB1、BD是平面BB1D内的相交直线
∴AC⊥平面BB1D,
∵B1D平面BB1D,∴AC⊥B1D;
(2)解:∵AD∥BC,B1C1∥BC,∴AD∥B1C1,
由此可得:直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成
的角(记为θ),连接A1D,
∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,∠BAD=∠B1A1D1=90°,
∴B1A1⊥平面A1D1DA,结合AD1平面A1D1DA,得B1A1⊥AD1
又∵AD=AA1=3,∴四边形A1D1DA是正方形,可得AD1⊥A1D
∵B1A1、A1D是平面A1B1D内的相交直线,∴AD1⊥平面A1B1D,可得AD1⊥B1D,
由(1)知AC⊥B1D,结合AD1∩AC=A可得B1D⊥平面ACD1,从而得到∠ADB1=90°﹣θ,
∵在直角梯形ABCD中,AC⊥BD,∴∠BAC=∠ADB,从而得到Rt△ABC∽Rt△DAB
因此, ,可得AB= =
连接AB1,可得△AB1D是直角三角形,
∴B1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21,B1D=
在Rt△AB1D中,cos∠ADB1= = = ,
即cos(90°﹣θ)=sinθ= ,可得直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值为 .
【解析】(1)根据直棱柱性质,得BB1⊥平面ABCD,从而AC⊥BB1 , 结合BB1∩BD=B,证出AC⊥平面BB1D,从而得到AC⊥B1D;(2)根据题意得AD∥B1C1 , 可得直线B1C1与平面ACD1所成的角即为直线AD与平面ACD1所成的角.连接A1D,利用线面垂直的性质与判定证出AD1⊥平面A1B1D,从而可得AD1⊥B1D.由AC⊥B1D,可得B1D⊥平面ACD1 , 从而得到∠ADB1与AD与平面ACD1所成的角互余.在直角梯形ABCD中,根据Rt△ABC∽Rt△DAB,算出AB= ,最后在Rt△AB1D中算出B1D= ,可得cos∠ADB1= ,由此即可得出直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值.
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的性质和空间角的异面直线所成的角的相关知识点,需要掌握垂直于同一个平面的两条直线平行;已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上的任意两点,所成的角为,则才能正确解答此题.
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【题目】在直角坐标系xOy中,直线l的方程为x﹣y+4=0,曲线C的参数方程 (α为参数)
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标 ,判断点P与直线l的位置关系;
(2)设点Q为曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.
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【题目】下列说法正确的序号是__________.
①用刻画回归效果,当 越大时,模型的拟合效果越差;反之,则越好;
②可导函数在处取极值,则;
③归纳推理是由特殊到一般的推理,而演绎推理是由一般到特殊的推理;
④综合法证明数学问题是“由因导果”,分析法证明数学问题是“执果索因”。
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【题目】某企业用180万元购买一套新设备,该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入,为了维护设备的正常运行,第一年需要各种维护费用10万元,且从第二年开始,每年比上一年所需的维护费用要增加10万元
(1)求该设备给企业带来的总利润(万元)与使用年数的函数关系;
(2)试计算这套设备使用多少年,可使年平均利润最大?年平均利润最大为多少万元?
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【题目】已知等比数列{an}满足:|a2﹣a3|=10,a1a2a3=125.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)是否存在正整数m,使得 ?若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,为测得河对岸塔的高,先在河岸上选一点,使在塔底的正东方向上,测得点的仰角为60°,再由点沿北偏东15°方向走到位置,测得,则塔的高是(单位:)( )
A. B. C. D. 10
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