【题目】已知函数f(x)=loga ,g(x)=loga(x+2a)+loga(4a﹣x),其中a>0,且a≠1.
(1)求f(x)的定义域,并判断f(x)的奇偶性;
(2)已知区间D=[2a+1,2a+ ]满足3aD,设函数h(x)=f(x)+g(x),h(x)的定义域为D,若对任意x∈D,不等式|h(x)|≤2恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:由 ,整理得(x+2a)(x﹣2a)>0,解得x<﹣2a,或x>2a,
∴f(x)的定义域为(﹣∞,﹣2a)∪(2a,+∞).
又∵ = ,
∴f(﹣x)=f(x),
∴f(x)为奇函数
(2)解:由已知3a[2a+1,2a+ ],
∴2a+1>3a,或2a+ <3a,即0<a<1,或a> .
又∵要使g(x)有意义,就须使x+2a>0,且4a﹣x>0,即﹣2a<x<4a,
结合(1)中f(x)的定义域知函数h(x)的自变量x须满足2a<x<4a.
由题知h(x)在区间[2a+1,2a+ ]上有意义,
∴ 解得a> ,
∴ <a<1,或a> .
∵h(x)=f(x)+g(x)= +loga(x+2a)+loga(4a﹣x)= ,
∴|h(x)|≤2恒成立,即为| |≤2恒成立.
因为 3a[2a+1,2a+ ],所以h(x)≠2,
即题意转化为对任意x∈[2a+1,2a+ ],不等式﹣2≤ 应恒成立.
①当 时,上式等价于a2<﹣x2+6ax﹣8a2≤a﹣2应恒成立.
由于左端a2<﹣x2+6ax﹣8a2,即(x﹣3a)2<0,显然不成立.
②当 时,问题转化为a﹣2≤﹣x2+6ax﹣8a2<a2应恒成立.
对于右端﹣x2+6ax﹣8a2<a2,等价于(x﹣3a)2>0,显然成立.
研究左端 ≤0成立的条件.
令 ,对称轴x=3a,开口向上.
由 知
∴h(x)max=h(2a+1),
∴要使左端成立,只需h(2a+1)<0成立,
即需 ,
也就是需2a3﹣a2﹣1>0,
也就是(a﹣1)(2a2+a+1)>0,
只须a>1,而已知 ,故当 时,不等式a﹣2≤﹣x2+6ax﹣8a2<a2恒成立.
综上所述,满足条件的a的取值范围为( ,+∞)
【解析】(1)由 ,解得:函数f(x)的定义域,再由函数奇偶性的定义,可判断出f(x)为奇函数.(2)若对任意x∈D,不等式|h(x)|≤2恒成立,即为| |≤2恒成立,分类求出各种情况下满足条件的a值,综合可得实数a的取值范围.
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【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,底面ABC等边三角形,E,F分别是BC,CC1的中点.求证: (Ⅰ) EF∥平面A1BC1;
(Ⅱ) 平面AEF⊥平面BCC1B1 .
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【题目】要得到函数y=cos(2x﹣ )的图象,只需将函数y=sin2x的图象( )
A.向左平移 个单位
B.向左平移 个单位
C.向右平移 个单位
D.向右平移 个单位
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【题目】某校为了解高三年级不同性别的学生对取消艺术课的态度(支持或反对),进行了如下的调查研究.全年级共有1350人,男女生比例为8:7,现按分层抽样方法抽取若干名学生,每人被抽到的概率均为 ,通过对被抽取学生的问卷调查,得到如下2x2列联表:
支持 | 反对 | 总计 | |
男生 | 30 | ||
女生 | 25 | ||
总计 |
(Ⅰ)完成列联表,并判断能否有99.9%的把握认为态度与性别有关?
(Ⅱ)若某班有6名男生被抽到,其中2人支持,4人反对;有4名女生被抽到,其中2人支持,2人反对,现从这10人中随机抽取一男一女进一步调查原因.求其中恰有一人支持一人反对的概率.
参考公式及临界表:K2=
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.050 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.706% | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】已知数列{an}满足a1=4,an+1=3an﹣2(n∈N+)
(1)求证:数列{an﹣1}为等比数列,并求出数列{an}的通项公式;
(2)令bn=log3(a1﹣1)+log3(a2﹣1)+…+log3(an﹣1),求数列{ }的前n项和Tn .
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【题目】某地政府落实党中央“精准扶贫”政策,解决一贫困山村的人畜用水困难,拟修建一个底面为正方形(由地形限制边长不超过10m)的无盖长方体蓄水池,设计蓄水量为800m3 . 已知底面造价为160元/m2 , 侧面造价为100元/m2 . (I)将蓄水池总造价f(x)(单位:元)表示为底面边长x(单位:m)的函数;
(II)运用函数的单调性定义及相关知识,求蓄水池总造价f(x)的最小值.
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【题目】如图,在三棱锥A﹣BCD中,侧面ABC是一个等腰直角三角形,∠BAC=90°,底面BCD是一个等边三角形,平面ABC⊥平面BCD,E为BD的中点,则AE与平面BCD所成角的大小为 .
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【题目】已知椭圆 (a>0,b>0)上的点P到左、右两焦点F1 , F2的距离之和为2 ,离心率为 .
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在同时满足①②两个条件的直线l?
①过点M(0, );
②存在椭圆上与右焦点F2共线的两点A、B,且A、B关于直线l对称.
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