【题目】已知抛物线经过点.
(1)写出抛物线的标准方程及其准线方程,并求抛物线的焦点到准线的距离;
(2)过点且斜率存在的直线与抛物线交于不同的两点,,且点关于轴的对称点为,直线与轴交于点.
(i)求点的坐标;
(ii)求与面积之和的最小值.
【答案】(1),,焦点到准线的距离为1; (2)(i),(ii).
【解析】
(1)由抛物线经过点,求得抛物线的方程为,再结合抛物线的几何性质,即可求解;
(2)(i)设过点的直线,联立方程组,求得,再由直线的方程,,即可求解的坐标;
(ii)利用三角形的面积公式,求得与面积之和的表示,结合基本不等式,即可求解.
(1)由题意,抛物线经过点,即,
解得,所以抛物线的方程为,
抛物线的准线方程为,抛物线的焦点到准线的距离为1.
(2)(i)设过点的直线,
代入抛物线的方程,可得,
设直线与抛物线的交点,且,
则,
所以直线的方程为,
即,即,
令,可得,
所以,所以,所以,
(ii)如图所示,可得,
,
所以与面积之和为:
,
当且仅当时,即时等号成立,
所以与面积之和的最小值为.
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【题目】设a,b,c为实数,f(x)=(x+a)(x2+bx+c),g(x)=(ax+1)(cx2+bx+1).记集合S={x|f(x)=0,x∈R},T={x|g(x)=0,x∈R}.若{S},{T}分别为集合S,T 的元素个数,则下列结论不可能的是( )
A.{S}=1且{T}=0B.{S}=1且{T}=1C.{S}=2且{T}=2D.{S}=2且{T}=3
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【题目】某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入4万元广告费用,并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示),由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从0开始计数的.
(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度;
(2)试估计该公司在若干地区各投入4万元广告费用之后,对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);
(3)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:
广告投入(单位:万元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售收益(单位:万元) | 2 | 3 | 3 | 7 |
由表中的数据显示,与之间存在着线性相关关系,请将(2)的结果填入空白栏,并求出关于的回归直线方程.(参考公式:)
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【题目】年东京夏季奥运会将设置米男女混合泳接力这一新的比赛项目,比赛的规则是:每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员比赛,按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序,每种泳姿米且由一名运动员完成, 每个运动员都要出场. 现在中国队确定了备战该项目的4名运动员名单,其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳,男运动员乙只能承担蝶泳或自由泳,剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可以上,那么中国队共有( )种兵布阵的方式.
A. B. C. D.
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【题目】近年来,我国自主研发的长征系列火箭的频频发射成功,标志着我国在该领域已逐步达到世界一流水平.火箭推进剂的质量为,去除推进剂后的火箭有效载荷质量为,火箭的飞行速度为,初始速度为,已知其关系式为齐奥尔科夫斯基公式:,其中是火箭发动机喷流相对火箭的速度,假设,,,是以为底的自然对数,,.
(1)如果希望火箭飞行速度分别达到第一宇宙速度、第二宇宙速度、第三宇宙速度时,求的值(精确到小数点后面1位).
(2)如果希望达到,但火箭起飞质量最大值为,请问的最小值为多少(精确到小数点后面1位)?由此指出其实际意义.
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【题目】已知函数.
(Ⅰ)若函数在处的切线平行于直线,求实数a的值;
(Ⅱ)判断函数在区间上零点的个数;
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,若在上存在一点,使得成立,求实数的取值范围.
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【题目】牛顿迭代法(Newton's method)又称牛顿–拉夫逊方法(Newton–Raphsonmethod),是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图,设是的根,选取作为初始近似值,过点作曲线的切线与轴的交点的横坐标,称是的一次近似值,过点作曲线的切线,则该切线与轴的交点的横坐标为,称是的二次近似值.重复以上过程,直到的近似值足够小,即把作为的近似解.设构成数列.对于下列结论:
①;
②;
③;
④.
其中正确结论的序号为__________.
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【题目】已知抛物线:内有一点,过的两条直线,分别与抛物线交于,和,两点,且满足,,已知线段的中点为,直线的斜率为.
(1)求证:点的横坐标为定值;
(2)如果,点的纵坐标小于3,求的面积的最大值.
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【题目】对某产品1到6月份销售量及其价格进行调查,其售价x和销售量y之间的一组数据如下表所示:
月份i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
单价(元) | 9 | 9.5 | 10 | 10.5 | 11 | 8 |
销售量(件) | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 | 14 |
(1)根据1至5月份的数据,求出y关于x的回归直线方程;
(2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元,则认为所得到的回归直线方程是理想的,试问所得到的回归直线方程是否理想?
(3)预计在今后的销售中,销售量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是2.5元/件,为获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?
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