Question

7．已知向量$\overrightarrow{m}$=（4sinx，1），$\overrightarrow{n}$=（cos（x+$\frac{π}{6}$），1）
（Ⅰ）设函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，求函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（$\frac{A}{2}$）=$\frac{6}{5}$，$\frac{π}{3}$＜A＜$\frac{5}{6}$π，求cos2A的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由平面向量数量积的运算及三角函数中的恒等变换应用可得f（x）=2in（2x+$\frac{π}{6}$），根据正弦函数的单调性即可求得函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）由已知可得sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，结合A的范围，可求cos（A+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{4}{5}$，从而可求cosA=cos（A+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）的值，利用二倍角的余弦函数公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=4sinxcos（x+$\frac{π}{6}$）+1
=4sinx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$sinx）+1
=$\sqrt{3}$（2sinxcosx）+（1-2sin²x）
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2in（2x+$\frac{π}{6}$），
∵f（x）=2in（2x+$\frac{π}{6}$）在区间[0，$\frac{π}{6}$]上为增函数，在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上为减函数，
又∵f（0）=1，f（$\frac{π}{6}$）=2，f（$\frac{π}{2}$）=-1，
∴函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值为2，最小值为-1．…7分
（Ⅱ）∵f（$\frac{A}{2}$）=$\frac{6}{5}$，
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，
又∵$\frac{π}{3}＜A＜\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{π}{2}$＜A+$\frac{π}{6}$＜π，
∴cos（A+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{4}{5}$，
∴cosA=cos（A+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=cos（A+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（A+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$，
∴cos2A=2cos²A-1
=2$•\frac{57-24\sqrt{3}}{100}$-1
=$\frac{7-24\sqrt{3}}{50}$．…13分

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的单调性，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．