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7.已知向量$\overrightarrow{m}$=(4sinx,1),$\overrightarrow{n}$=(cos(x+$\frac{π}{6}$),1)
(Ⅰ)设函数f(x)=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$,求函数f(x)在区间[0,$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)若f($\frac{A}{2}$)=$\frac{6}{5}$,$\frac{π}{3}$<A<$\frac{5}{6}$π,求cos2A的值.

分析 (Ⅰ)由平面向量数量积的运算及三角函数中的恒等变换应用可得f(x)=2in(2x+$\frac{π}{6}$),根据正弦函数的单调性即可求得函数f(x)在区间[0,$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)由已知可得sin(A+$\frac{π}{6}$)=$\frac{3}{5}$,结合A的范围,可求cos(A+$\frac{π}{6}$)=-$\frac{4}{5}$,从而可求cosA=cos(A+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$)的值,利用二倍角的余弦函数公式即可得解.

解答 解:(Ⅰ)∵f(x)=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=4sinxcos(x+$\frac{π}{6}$)+1
=4sinx($\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$sinx)+1
=$\sqrt{3}$(2sinxcosx)+(1-2sin2x)
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2in(2x+$\frac{π}{6}$),
∵f(x)=2in(2x+$\frac{π}{6}$)在区间[0,$\frac{π}{6}$]上为增函数,在区间[$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{2}$]上为减函数,
又∵f(0)=1,f($\frac{π}{6}$)=2,f($\frac{π}{2}$)=-1,
∴函数f(x)在区间[0,$\frac{π}{2}$]上的最大值为2,最小值为-1.…7分
(Ⅱ)∵f($\frac{A}{2}$)=$\frac{6}{5}$,
∴sin(A+$\frac{π}{6}$)=$\frac{3}{5}$,
又∵$\frac{π}{3}<A<\frac{5π}{6}$,
∴$\frac{π}{2}$<A+$\frac{π}{6}$<π,
∴cos(A+$\frac{π}{6}$)=-$\frac{4}{5}$,
∴cosA=cos(A+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$)=cos(A+$\frac{π}{6}$)cos$\frac{π}{6}$+sin(A+$\frac{π}{6}$)sin$\frac{π}{6}$=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$,
∴cos2A=2cos2A-1
=2$•\frac{57-24\sqrt{3}}{100}$-1
=$\frac{7-24\sqrt{3}}{50}$.…13分

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的单调性,二倍角的余弦函数公式的应用,属于基本知识的考查.

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 总计 24 18 42
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