Question

一盒中装有分别标记着1，2，3，4的4个小球，每次从袋中取出一只球，设每只小球被取出的可能性相同．
（1）若每次取出的球不放回盒中，现连续取三次球，求恰好第三次取出的球的标号为最大数字的球的概率；
（2）若每次取出的球放回盒中，然后再取出一只球，现连续取三次球，这三次取出的球中标号最大数字为ξ，求ξ的分布列与数学期望．

Answer 1

分析：（1）四个球中取三个，由于小球编号不同，故取法共有A₄³，若第三次取出的标号为最大数字，此数字可能是3或4，分别求出符合题意的种数即可；
（2）ξ的取值为1、2、3、4，然后根据 P(ξ=k)=(

1

4

)3+

C

2 3

(

1

4

)2(

k-1

4

)+

C

1 3

(

1

4

)(

k-1

4

)2求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式进行求解即可．

解答：解：（1）当恰好第三次取出的球的标号为最大数字时，则第三次取出的球可能是3或4
得P=

2×1+3×2

4×3×2

= 

1

3

（2）ξ的可能取值为1，2，3，4
 P(ξ=k)=(

1

4

)3+

C

2 3

(

1

4

)2(

k-1

4

)+

C

1 3

(

1

4

)(

k-1

4

)2，
ξ的分布列为：

ξ	1	2	3	4
P	1 64	7 64	19 64	37 64

故 Eξ=1×

1

64

+2×

7

64

+3×

19

64

+4×

37

64

=

55

16

．

点评：本题考查概率的性质和应用、离散型随机变量及其分布列，解题时要认真审题，仔细解答，注意离散型随机变量概率分布列的求法，属于中档题．