分析：解法一（Ⅰ）连接OC，由已知，∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角．设AB中点为D，连接PD，CD．不妨设PA=2，则OD=1，OP=
，AB=4．在RT△OCP中求解．
（Ⅱ）以O为原点，建立空间直角坐标系，利用平面APC的一个法向量与面ABP的一个法向量夹角求解．
解法二（Ⅰ）设AB中点为D，连接CD．以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz．利用
与平面ABC的一个法向量夹角求解．
（Ⅱ）分别求出平面APC，平面ABP的一个法向量，利用两法向量夹角求解．
解答：解法一
（Ⅰ）连接OC，由已知，∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角．
设AB中点为D，连接PD，CD．因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB，
因为∠APB=90°，∠PAB=60°，所以△PAD为等边三角形，
不妨设PA=2，则OD=1，OP=
，AB=4．
所以CD=2
，OC=
=
=
在RT△OCP中，tan∠OCP=
=
=
．
故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，以O为原点，建立空间直角坐标系．则
=（1，0，
），
=（2，2
，0）．
设平面APC的一个法向量为
=（x，y，z），则由
得出
即
，取x=-
，则y=1，z=1，所以
=（-
，1，1）．设二面角B-AP-C的平面角为β，易知β为锐角．而面ABP的一个法向量为
=（0，1，0），则cosβ=
||=
||=
．故二面角B-AP-C的大小为arccos
．
解法二：（Ⅰ）设AB中点为D，连接CD．因为O在AB上，且O为P在平面ABC内的射影，
所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AB，且PO⊥CD．因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB，设E为AC中点，则EO∥CD，从而OE⊥PO，OE⊥AB．
如图，以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz．不妨设PA=2，由已知可得，AB=4，OA=OD=1，OP=
，
CD=2
，所以O（0，0，0），A（-1，0，0），C（1，2
，0），P（0，0，
），所以
=（-1，-2
，
）
=（0，0，
）为平面ABC的一个法向量．
设α为直线PC与平面ABC所成的角，则sinα=
||=
=
．故直线PC与平面ABC所成的角大小为arcsin
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
=（1，0，
），
=（2，2
，0）．
设平面APC的一个法向量为
=（x，y，z），则由
得出
即
，
取x=-
，则y=1，z=1，所以
=（-
，1，1）．设二面角B-AP-C的平面角为β，易知β为锐角．
而面ABP的一个法向量为
=（0，1，0），则cosβ=
||=
||=
．
故二面角B-AP-C的大小为arccos
．
（2012•四川）如图，在三棱锥P-ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，点P在平面ABC内的射影O在AB上．
（2012•四川）如图，动点M到两定点A（-1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C．
（2012•四川）如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A、P两点间的球面距离为（ ）
（2012•四川）如图，动点M与两定点A（-1，0）、B（1，0）构成△MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4，设动点M的轨迹为C．
（2012•四川）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是