【题目】△ABC的内角A. B. C的对边分别为a,b,c,己知=b(c-asinC)。
(1)求角A的大小;
(2)设b=c,N是△ABC所在平面上一点,且与A点分别位于直线BC的两侧,如图,若BN=4,CN=2,求四边形ABNC面积的最大值.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
(1)由条件可得ccosA=c-asinC.由正弦定理得sinA+cosA=1.化简得sin(A+)=,解得A即可.
(2)由余弦定理得BC2=16+4-16cosN =20-16cosN,再结合条件得到四边形面积S=S△ABC+S△BCN,求得最值.
(1)∵ ,∴ cbcosA=b(c-asinC),即ccosA=c-asinC.
由正弦定理得sinCcosA=sinC-sinAsinC,∵ sinC0,
∴ cosA=1-sinA,即sinA+cosA=1.∴ sinA+cosA=,即sin(A+)=.
∵ 0<A<,∴ .∴ A+=,即A=.
(2)在△BCN中,由余弦定理得BC2=NB2+NC2-2NBNCcosN,∵ BN=4,CN=2,
∴ BC2=16+4-16cosN =20-16cosN.
由(1)和b=c,得△ABC是等腰直角三角形,于是AB=AC=BC,
∴ 四边形ABCD的面积S=S△ABC+S△BCN=
= =
==. ∴ 当N=时,S取最大值,
即四边形ABCD的面积的最大值是.
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【题目】砂糖橘是柑橘类的名优品种,因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植砂糖橘,收获时,该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量(单位:kg),获得的所有数据按照区间(40,45],(45,50],(50,55],(55,60]进行分组,得到频率分布直方图如图所示.已知样本中产量在区间(45,50]上的果树株数是产量在区间(50,60]上的果树株数的倍.
(1)求a,b的值;
(2)从样本中产量在区间(50,60]上的果树里随机抽取两株,求产量在区间(55,60]上的果树至少有一株被抽中的概率.
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【题目】已知点A(0,-2),椭圆E: (a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
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【题目】李庄村某社区电费收取有以下两种方案供农户选择:
方案一:每户每月收管理费2元,月用电不超过30度,每度0.4元,超过30度时,超过部分按每度0.5元.
方案二:不收管理费,每度0.48元.
(1)求方案一收费元与用电量(度)间的函数关系;
(2)小李家九月份按方案一交费34元,问小李家该月用电多少度?
(3)小李家月用电量在什么范围时,选择方案一比选择方案二更好?
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【题目】已知向量, ,设函数,且的图象过点和点.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)将的图象向左平移()个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1,求的单调增区间.
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【题目】进入冬天,大气流动性变差,容易形成雾握天气,从而影响空气质量.某城市环保部门试图探究车流量与空气质量的相关性,以确定是否对车辆实施限行.为此,环保部门采集到该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据如下表:
(1)根据表中周一到周五的数据,求y关于x的线性回归方程。
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2,则认为得到的线性回归方程是可靠的.请根据周六和周日数据,判定所得的线性回归方程是否可靠?
注:回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为.
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【题目】有12个球,颜色、大小完全一样,在重量上,其中一个球不合格,但不知这个球比标准的重还是轻.能否在一架天平上只称三次(不用砝码),把这个不合格的球找出来?
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【题目】设, ,…, 是变量和的个样本点,直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图),以下结论中正确的是( )
A. 和的相关系数在和之间
B. 和的相关系数为直线的斜率
C. 当为偶数时,分布在两侧的样本点的个数一定相同
D. 所有样本点(1,2,…, )都在直线上
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