Question

已知三次函数f（x）=ax³+bx²+cx（a，b，c∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）过点（-1，2）且在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对于区间[-3，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t，求实数t的最小值；
（Ⅲ）当-1≤x≤1时，|f′（x）|≤1，试求a的最大值，并求a取得最大值时f（x）的表达式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把（-1，2）代入f（x）的解析式，得到关于a，b及c的关系式，记作①，求出f（x）的导函数，根据切线方程y+2=0的斜率为0，得到x=1时导函数的值为0，且把x=1代入f（x）中求出f（1），得到关于a与b的方程组，记作②，联立①②，得到关于a，b及c的三元一次方程组，求出方程组的解即可得到a，b及c的值，进而得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出的a，b及c的值代入导函数中确定出导函数的解析式，令导函数等于0求出x的值，然后分别求出求出的x及闭区间的端点时的函数值，得到f（x）的最大值和最小值，求出最大值与最小值的差即为|f（x₁）-f（x₂）|的最大值，让t大于等于求出的最大值即可得到t的取值范围；
（Ⅲ）由（Ⅰ）中求出的导函数，分别把x=0，-1，1代入导函数中，得到关于a，b及c的方程组，消去b和c，得到关于a的关系式，根据当-1≤x≤1时，|f′（x）|≤1，得到x=0，-1，1对应的导函数值都小于等于1，根据|a+b+c|小于等于|a|+|b|+|c|，即可列出关于a的不等式，求出不等式的解集进而得到a的最大值，把此时a的值代入关于a，b及c的方程组，即可求出b和c的值，把求出的a，b及c代入即可求出a取最大值时f（x）的解析式．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）过点（-1，2），
∴f（-1）=-a+b-c=2，①
又f'（x）=3ax²+2bx+c，函数f（x）点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0，
∴

f(1)=-2 f′(1)=0

，
∴

a+b+c=-2 3a+2b+c=0

，②
由①和②解得a=1，b=0，c=-3，故f（x）=x³-3x；
（Ⅱ）由（Ⅰ）f'（x）=3x²-3，
令f'（x）=0，解得x=±1，
∵f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2，
∴在区间[-3，2]上f_max（x）=2，f_min（x）=-18，
∴对于区间[-3，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，|f（x₁）-f（x₂）|≤20，
∴t≥20，从而t的最小值为20；
（Ⅲ）∵f'（x）=3ax²+2bx+c，
则

f′(0)=c f′(-1)=3a-2b+c f′(1)=3a+2b+c

，可得6a=f'（-1）+f'（1）-2f'（0）．
∵当-1≤x≤1时，|f'（x）|≤1，
∴|f'（-1）|≤1，|f'（0）|≤1，|f'（1）|≤1，
∴6|a|=|f'（-1）+f'（1）-2f'（0）|≤|f'（-1）|+|f'（1）|+2|f'（0）|≤4，
∴a≤

2

3

，故a的最大值为

2

3

，
当a=

2

3

时，

|f′(0)|=|c|=1 |f′(-1)|=|2-2b+c|=1 |f′(1)|=|2+2b+c|=1

，解得b=0，c=-1，
∴a取得最大值时f(x)=

2

3

x3-x．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数求闭区间上函数的最值，是一道中档题．