Question

将质地均匀的两枚硬币抛掷一次，若两枚硬币的正面朝上，我们称之为一次“成功抛掷”．
（1）求三次这样的抛掷，至少两次是“成功抛掷”的概率；
（2）三次这样的抛掷后，再抛掷一枚硬币，若正面朝上，也称为一次“成功抛掷”，记四次抛掷后“成功抛掷”的次数为ε，求ε的分布列和期望．

Answer 1

分析：（1）成功抛掷一次的概率是

1

2

×

1

2

=

1

4

．至少有两次是成功抛掷含三次全都成功抛掷和两次成功抛掷，由此能求出三次这样的抛掷，至少两次是“成功抛掷”的概率．
（2）由题设知ε的取值为0，1，2，3，4，分别求出p（ε=0），P（ε=1），P（ε=2），P（ε=3），P（ε=4），由此能求出ε的分布列和Eε．

解答：解：（1）成功抛掷一次的概率是

1

2

×

1

2

=

1

4

．
至少有两次是成功抛掷含三次全都成功抛掷和两次成功抛掷，
其概率P=（

1

4

）³+

C

2 3

(

1

4

)2(

3

4

)=

5

32

．
（2）由题设知ε的取值为0，1，2，3，4，
p（ε=0）=（

3

4

）³×

1

2

=

27

128

，
P（ε=1）=3×

1

4

×

3

4

×

3

4

×

1

2

+（

3

4

）³×

1

2

=

27

64

，
P（ε=2）=3×

1

4

×（

3

4

）²×

1

2

+3×

1

4

×

1

4

×

3

4

×

1

2

=

9

32

，
P（ε=3）=（

1

4

）³×

1

2

+3×（

1

4

）²×

3

4

×

1

2

=

5

64

，
P（ε=4）=（

1

4

）³×

1

2

=

1

128

．
∴ε的分布列为：

ε	0	1	2	3	4
P	7 128	27 64	9 32	5 64	1 128

∴Eε=0×

7

128

+1×

27

64

+2×

9

32

+3×

5

64

+4×

1

128

=

5

4

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用．