Question

如图，梯形ABCD中，CD//AB，，E是AB的中点，将△ADE沿DE折起，使点A折到点P的位置，且二面角的大小为120⁰．
（I）求证：；
（II）求直线PD与平面BCDE所成角的大小；
（III）求点D到平面PBC的距离.

Answer 1

I）证明见解析 （II）直线PD与平面BCDE所成角是．
（III）．

（I）连结AC交DE于F，连结PF．
，．
又，，
，
即CA平分．                                   
是正三角形，
，即PF⊥DE，CF⊥DE，
∴DE⊥面PCF，∴DE⊥PC．                               
（II）过P作于O，连结OD，设AD = DC = CB = a，则AB = 2a，
∵DE⊥面PCF，∴DE⊥PO，
∴PO⊥面BCDE，
∴∠PDO就是直线PD与平面BCDE所成的角．                 
∵∠PFC是二面角P-DE-C的平面角，
∴∠PFO= 60°，在RT△POD中，，
直线PD与平面BCDE所成角是．

（III）∵DE∥BC，DE在平面PBC外，，点到面的距离即为点F到面PBC的距离，过点F作FG⊥PC，垂足为G．
∴DE⊥面PCF，
．，
，
∴FG的长即为点F到面PBC的距离．                        
在菱形ADCE中，，．
，，
．