Question

4．已知函数f（x）=asin（$\frac{x}{2}+\frac{π}{6}$）-acos$\frac{x}{2}$+b（a＞0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及其对称轴；
（Ⅱ）若函数f（x）在[-π，$\frac{2π}{3}$]上的最大值为2，最小值为-1，求a，b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性以及它的图象的对称性求得函数f（x）的最小正周期及其对称轴．
（Ⅱ）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得a，b的值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=asin（$\frac{x}{2}+\frac{π}{6}$）-acos$\frac{x}{2}$+b=asin$\frac{x}{2}$cos$\frac{π}{6}$+acos$\frac{x}{2}$sin$\frac{π}{6}$-acos$\frac{x}{2}$+b
=a（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$cos$\frac{x}{2}$）+b=asin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$）+b，
故函数的最小正周期为 $\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π．
令$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈z，求得x=2kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈z，可得函数的图象的对称轴为 x=2kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈z．
（Ⅱ）∵x∈[-π，$\frac{2π}{3}$]上，∴$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，∴-1≤sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$）≤$\frac{1}{2}$．
再结合题意以及a＞0，可得 $\left\{\begin{array}{l}{-a+b=-1}\\{\frac{a}{2}+b=2}\end{array}\right.$，求得 $\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，三角函数的周期性和求法，属于中档题．