Question

【题目】如下为简化的计划生育模型：每个家庭允许生男孩最多一个，即某一胎若为男孩，则不能再生下一胎，而女孩可以多个.为方便起见，此处约定每个家庭最多可生育3个小孩，即若第一胎或前两胎为女孩，则继续生，但若第三胎还是女孩，则不能再生了.设每一胎生男生女等可能，且各次生育相互独立.依据每个家庭最多生育一个男孩的政策以及我们对生育女孩的约定，令为某一家庭所生的女孩数，为此家庭所生的男孩数.

（1）求，的分布列，并比较它们数学期望的大小；

（2）求概率，其中为的方差.

Answer 1

【答案】（1）分布列见解析：（2）

【解析】

（1）易知的取值为0，1，2，3，的取值为0，1，利用相互独立的事件的概率公式求出相应概率，由此可得分布列，再根据数学期望的计算公式求出期望，进而比较大小；

（2）结合公式求出方差，再根据互斥事件的概率加法公式即可求出结果．

解：（1）易知的取值为0，1，2，3，对应取值的概率为别为：

，，，

即得的分布列如下

	0	1	2	3

类似地，的取值为0，1，对应取值的概率分别为：

，；

得的分布列如下：

	0	1

由，的分布列可得它们的期望分别为：

，

，

因此；

（2），

故．