Question

【题目】已知抛物线的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M、N。

（1）求证：直线MN必过定点；

（2）分别以AB和CD为直径作圆，求两圆相交弦中点H的轨迹方程。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）易知F(1,0).

设，代入，得.

易得，故.

因为CD⊥AB，所以将点M坐标中的k换为，即得.

则，

即.

故不论k为何值，直线MN恒过定点T(3, 0).

（2）由拋物线的性质知，都与抛物线的准线x=-1相切，所以，的半径分别为.从而，，

.

两式相减并整理，得公共弦所在直线方程为.

又，

故公共弦所在直线过原点O.

所以，∠OHT=90°.

于是，点H的轨迹是以OT为直径的圆(除去直径的两个端点)，其轨迹方程为

.