【题目】如图，正方体
，则下列四个命题:
①点
在直线
上运动，三棱锥
的体积不变
②点在直线上运动，直线
与平面
所成角的大小不变
③点在直线上运动，二面角
的大小不变
④点是平面
上到点
和
距离相等的动点，则的轨迹是过点
的直线.
其中的真命题是（ ）
A.①③B.①③④C.①②④D.③④
【答案】B
【解析】
①由正方体的性质，易知
平面
，因此直线
上的点到平面的距离不变，又
的面积不变，所以体积不变.②点
在直线上运动，
的大小在改变，所以直线与平面
所成角的大小改变，③点在直线上运动，两面的位置不变，所以二面角
的大小不变.④用向量法来判断，建立空间直角坐标系，设
，由
的方程来判断.
①由正方体的性质可得:
，于是平面，因此直线上的点到平面的距离不变，点在直线上运动，又的面积不变，因此三棱锥
的体积
不变.
②点在直线上运动，由①可知:直线上的点到平面的距离不变，而的大小在改变，因此直线与平面所成角的大小改变，故不正确.
③点在直线上运动，由①可知:点到平面的距离不变，点到
的距离不变，可得二面角的大小不变，正确；
④如图所示，
不妨设正方体的棱长为
，
，
，设，∵，则
，化为
，因此的轨迹是过点
的直线，正确.
其中真命题是①③④.
故选：B
习题精选系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑
中，
平面
，且
为
的中点，则异面直线
与
所成角的正弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知抛物线
的焦点为F，直线l过点
．
（1）若点F到直线l的距离为
，求直线l的斜率；
（2）设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值
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【题目】已知点
在双曲线
（
，
）上，且双曲线的一条渐近线的方程是
．
（1）求双曲线
的方程；
（2）若过点
且斜率为
的直线
与双曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围；
（3）设（2）中直线与双曲线交于
两个不同的点，若以线段
为直径的圆经过坐标原点，求实数的值．
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【题目】在直角坐标系
中，倾斜角为
的直线
经过坐标原点
，曲线
的参数方程为
（
为参数）.以点为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）求与的极坐标方程；
（2）设与的交点为、
，与的交点为、
，且
，求值.
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【题目】在直角坐标系
中，倾斜角为
的直线
经过坐标原点
，曲线
的参数方程为
（
为参数）.以点为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）求与的极坐标方程；
（2）设与的交点为、
，与的交点为、
，且
，求值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知抛物线
的焦点为
，
为
轴上的点.
（1）过点
作直线
与
相切，求切线的方程；
（2）如果存在过点的直线
与抛物线交于
，
两点，且直线
与
的倾斜角互补，求实数
的取值范围.
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