Question

设向量

a

=（4cosα，sinα），

b

=（sinβ，4cosβ），

c

=（cosβ，4sinβ）
（1）若

a

与

b

-2

c

垂直，求tan（α+β）的值；
（2）求|

b

+

c

|的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据向量的数乘运算及向量坐标的减法运算求出

b

-2

c

，然后由向量垂直的条件得到关于α，β的三角函数关系式，整理后即可得到tan（α+β）的值；
（2）写出

b

+

c

，然后直接运用求模公式求出模，运用三角函数的有关公式化简后即可求模的最大值．

解答：解：（1）∵

a

=（4cosα，sinα），

b

=（sinβ，4cosβ），由

a

与

b

-2

c

垂直，∴

a

•(

b

-2

c

)=

a

•

b

-2

a

•

c

=0，
即4sin（α+β）-8cos（α+β）=0，∴tan（α+β）=2；
（2）∵

b

=（sinβ，4cosβ），

c

=（cosβ，4sinβ）
则

b

+

c

=(sinβ+cosβ，4cosβ-sinβ)，
∴|

b

+

c

|2=sin2β+2sinβcosβ+cos2β+16cos²β-32cosβsinβ+16sin²β
=17-30sinβcosβ=17-15sin2β，最大值为32，所以|

b

+

c

|的最大值为4

2

．

点评：本题考查了运用数量积判断两个向量的垂直关系，考查了向量的模，考查了同角三角函数间的基本关系式，考查了学生的运算能力，此题是基础题．