Question

16．已知△ABC是一个面积较大的三角形，点P是△ABC所在平面内一点且$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+2$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{0}$，现将3000粒黄豆随机抛在△ABC内，则落在△PBC内的黄豆数大约是1500粒．

Answer 1

分析 根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P是△ABC边BC上的中线AO的中点．再根据几何概型公式，将△PBC的面积与△ABC的面积相除可得概率，即可得到本题的答案．

解答 解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PD}$，
∵$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+2$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=-2$\overrightarrow{PA}$，
得：$\overrightarrow{PD}$=-2$\overrightarrow{PA}$，
由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，
点P到BC的距离等于A到BC的距离的$\frac{1}{2}$．
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$S_△ABC．
将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P=$\frac{1}{2}$，
将3000粒黄豆随机抛在△ABC内，则落在△PBC内的黄豆数大约是1500粒．
故答案为1500粒．

点评 本题给出点P满足的条件，求P点落在△PBC内的概率，着重考查了平面向量加法法则、向量共线的充要条件和几何概型等知识，属于中档题．